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module et argument de nombre complexe

Posté par
Meuhmeuh 24-07-09 à 18:36

Bonjour,
je fais des exos sur les nombres complexes et je bloque sur des calculs de module et d'argument:
1) exp(ib)+exp(ia)
2) 1+exp(ia)
3) (exp(ib)+exp(ia)/(1+exp(i(a+b))
4) (1+i)^n
Pour le 1), j'ai posé a=(a+b)/2 + (a-b)/2 et b=(a+b)/2 - (a-b)/2, et j'aboutis à  exp(ib)+exp(ia)= 2cos((a-b)/2)*exp((i(a+b)/2), ce qui fait 2*cos((a-b)/2)*cos((a+b)/2)+i*sin((a+b)/2)*2*cos((a-b)/2)
don, je trouve un module=((2*cos((a-b)/2)*cos((a+b)/2))²+(sin((a+b)/2)*2*cos((a-b)/2))²), et pour l'argument, je ne m'en sors pas. Mais, je pense que le résultat doit être plus simple...
Pour le 2), je trouve un module=(2+2cosa),et je bloque aussi avec l'argument
Pour le 3), je ne sais pas comment faire
Pour le 4), je trouve un module de (2)^n et un arg=n/4
merci pour votre aide

Posté par
zamotre : module et argument de nombre complexe 24-07-09 à 19:11

Salut :

Pour le 1, tu as :

exp{ia}+exp{ib}=2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})+i2sin(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})=2cos(\frac{a-b}{2})\(cos(\frac{a+b}{2})+i sin(\frac{a+b}{2})\)=2cos(\frac{a-b}{2})exp{i\frac{a+b}{2}}

Posté par
zamotre : module et argument de nombre complexe 24-07-09 à 19:14

Donc \|exp{ia}+exp{ib}\|=2\|cos(\frac{a-b}{2})\|

Posté par
MeuhmeuhRe : 24-07-09 à 20:24

Oui, j'avais trouvé aussi: exp(ib)+exp(ia)=2*cos((a-b)/2)*exp((i(a+b)/2), mais après je ne trouve pas 2*(valeur absolue de (cos(a-b)/2)).
Et pour l'argument, il faut calculer d'abord cos et sin?

Posté par
Narhmre : module et argument de nombre complexe 24-07-09 à 20:37

Bonjour à vous 2 :

Développer les formes exponentielles en cosinus et sinus n'est peut-etre pas le plus astucieux :
Regardons le 2) : 3$ 1+e^{ia}=e^{i\fr{a}{2}}(e^{-i\fr{a}{2}}+e^{i\fr{a}{2}}) = 2\cos(\fr{a}{2})e^{i\fr{a}{2}}.

On constate alors que si 3$ \cos(\fr{a}{2})\geq 0 ce nombre est sous forme exponentielle, sinon il faut juste modifier un peu l'écriture et donc on en tire aisément le module et un argument.

Maintenant, le 1) ne pose plus de problème puisque :
3$ e^{ia}+e^{ib}=e^{ia}(1+e^{i(b-a)})=e^{ia}\times z    avec 3$ z=1+e^{i(b-a)} dont on connait un argument et le module d'apres la question 2). Grace aux opérations ( |zz'|=|z||z'| et arg(zz')=arg(z)+arg(z') ) tu en tires tout ce qu'il faut.

Pour le 3) il suffit d'utiliser les réponses précédentes :
3$ z=\fr{e^{ia}+e^{ib}}{1+e^{i(a+b)}}=\fr{z_1}{z_2},   or d'apres 1) on connait le module et un argument de z2, d'apres 2) on connait le module de z1 et un argument de z1.
Au final, on connait donc le module de z , et un argument.

La question 4) est juste.

Sauf erreur...

Posté par
MeuhmeuhRe : 24-07-09 à 22:31

Bonsoir,
je vous remercie beaucoup pour votre aide qui m'a été très précieuse
merci

Posté par
Narhmre : module et argument de nombre complexe 24-07-09 à 23:08

De rien en ce qui me concerne
Bonne soirée

Posté par
MeuhmeuhRe : 25-07-09 à 11:16

Salut,
je voulais juste savoir si mes résultats étaient bons:
1) pour le module: 2*(valeur absolue de cos((a-b)/2)) et l'argument=(a+b)/2
2)pour le module:2*(valeur absolue de cos(a/2)) et l'argument=a/2
Pur le 3), comme on a (exp(ib)+exp(ia))/(1+exp(i(a+b)) et non (exp(ib)+exp(ia))/(1+exp(i(a)), on peut poser A=a+b?
Merci encore

Posté par
Narhmre : module et argument de nombre complexe 25-07-09 à 13:23

Les réponses sur les modules semblent justes, par contre il faut revoir celles des arguments.


Il faut revoir le 2), ca te permettra de tout corriger.
On dit qu'un nombre complexe z est sous forme exponentielle si il est sous la forme 3$ z=re^{i\theta} avec 3$ \fbox{r\geq 0, \ \theta\in\mathbb{R}}

Donc si on regarde bien pour le 2): on a 3$ z=1+e^{ia}=2\cos(\fr{a}{2})e^{\fr{a}{2}i}.
z n'est sous forme exponentielle que si 2cos(a/2) est positif ou nul !
Dans le cas ou il l'est, tes réponses sont justes, en revanche si 2cos(a/2) est négatif il faut trafiquer un peu z pour le remettre sous forme exponentielle et en tirer un argument potable.

Citation :
Pour le 3), comme on a (exp(ib)+exp(ia))/(1+exp(i(a+b)) et non (exp(ib)+exp(ia))/(1+exp(i(a)), on peut poser A=a+b?

"Poser" ?
Disons que comme tu sais que 3$ 1+e^{ia}=2\cos(\fr{a}{2})e^{i\fr{a}{2}}, alors ca reste vrai si on remplace a par n'importe quelle valeur réelle ! En particulier : 1+e^{i(a+b)}=2\cos(\fr{a+b}{2})e^{i\fr{a+b}{2}}, tu devines ainsi un argument et le module non ?

Posté par
MeuhmeuhRe : 25-07-09 à 14:59

alors, pour le 2):
si cos(a/2)>0: arg=a/2; si cos(a/2)<0: arg=a/2 + car z=(-2*cos(a/2)*exp(ia/2 +); si cos(a/2)=0: arg=0
pour le 1):
si cos((a-b)/2)>0: arg=(a+b)/2; si cos((a-b)/2)<0: arg=(a+b)/2 +;si cos((a-b)/2)=0: arg=0
C'est ça?

Posté par
MeuhmeuhRe : 27-07-09 à 16:32

Salut,
quelqu'un pourrait-il me dire si mes résultats sont bons?
merci

Posté par
Narhmre : module et argument de nombre complexe 27-07-09 à 19:18

Oui ce serait juste.
Par contre, juste une petite question, peux tu nous dire, en fonction de a, quand est ce que 3$ \cos(\fr{a}{2})\geq 0 ( avec a réel ) ?

Posté par
MeuhmeuhRe : 28-07-09 à 12:46

si a[-;]
Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
Narhmre : module et argument de nombre complexe 28-07-09 à 13:08

Bonjour,

Le probleme n'est pas tout à fait fini finalement, tu peux constater que pour 3$ a=2\pi: \ cos(\fr{a}{2})\leq 0 ou 3$ a=4\pi: \ cos(\fr{a}{2})\geq 0.
L'ensemble des réels a tels que cos(a/2) soit positif n'est donc pas entierement déterminé.

Posté par
MeuhmeuhRe : 28-07-09 à 14:46

Ah oui, c'est vrai, je n'avais pas fait attention à cela!!


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