Salut,

si tu arrives à trouver un anneau A qui admet un idéal I engendré par un nombre fini d'éléments non nuls () alors c'est gagné,
car I est un A-module de type fini (les sont des générateurs de I) et les sont liés (car ).
J'ai pas de tels exemples en tête mais ça doit se trouver.

Bon en fait il y a encore plus simple, il suffit de considérer un groupe abélien fini comme un -module.

Salut,

et merci pour ta réponse. Mais pourquoi les a_i sont liés ?

par exemple pour n=2, il suffit trouver une relation de dépendance linéaire entre et , par exemple on a

Ah d'accord ; mais il est évident qu'on peut toujours trouver une telle relation ?

comment ça?

Dans ton post de 13h20, t uécris "les sont liés". Tu m'as donné un exemple de relation qui liait les pour n=2. Mais comment peux-tu être sûr qu'il existe une telle relation pour tout n, autrement dit que pour tout n, les sont liés ?

Et tant que j'y suis, j'ai une autre question à l'air inoffesnive mais que je n'arrive pas à résoudre. J'essaye de montrer que si G est un groupe abélien de type fini et qu'il n'a pas d'élément d'ordre fini, alors G est libre comme -module. J'ai donc considéré un ensemble de générateurs de G ; il me faut montrer que cette famille est libre. M^me epour n=2, je n'arrive pas à montrer que si x1 et x2 sont d'ordre infini et qu'on a a*x1+b*x2=0, alors a=b=0 ! C'est frustrant !

Merci de me donner un coup de main

sauf erreur, le cas n=2 suffit pour montrer le cas n quelconque:

.

Je regarde pour la suite.

Oui tu as raison, ça marche !

Bonjour a vous 2,
Bon pour un exemple de module de type fini non libre , y a par exemple Z/nZ, qui est de torsion donc non libre et engendré par 1.

Un module qui possède ne base finie est évidement de type fini.

Pour ton resultat sur les groupes qui sont libres a condition d'etre sans torsion, c'est vrai mais non trivial a prouver, cela resukte du theorème de structure des modules de types finis sur un anneau principal.

Salut Rodrigo,

c'est vrai qu'avec ce théorème c'est expéditif (une version est donnée ici: page 141, corollaire 8.2.4 ).

J'ai trouvé une autre démo ne faisant pas appel à ce gros théorème dans le Lang (théorème 1.8.4),
mais qui utilise tout de même le fait que si A est principal, et M un module libre sur A, alors tout sous-module de M est libre.

Ben le lemme auquel tu fait reference est quand meme l'ingredient principal du theoreme en question puisqu'il permet de le demontrer par reccurence. Et il n'est pas trivial non plus!!

Merci Rodrigo.

Je ne vois pas de page 141 dans le poly dont tu parles Romu ^^

Vous parlez du théorème qui dit qu'un module est égal à la somme directe de son sous module de torsion et d'un module libre ? Dans notre exo, on dirait que comme tous les éléments sont d'ordre infini, notre groupe est sans torsion, et donc libre ?

désolé, je me suis gouré de lien :embarras,
c'est celui-là

Rodrigo >> ah ok, en cours pour démontrer le théorème de structures de modules on avait passé pas mal de temps et la démo était noyée dans une série de lemmes et cie, j'avoue ne pas l'avoir encore digéré

f2b>> oui c'est ça, sinon on pourrait trouver un élément d'ordre fini (un élément de torsion différent du neutre).

Ok, c'est bon, j'ai ce corollaire dans mon cours ; je pensais qu'on aurait pas besoin d'utiliser un résultat si important et qu'on pourrait y arriver en bidouillant un peu.
Problème résolu, merci