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Montrer famille de matrices est liée
Bonjour,
J'ai beau chercher dans tous les sens je ne voie pas comment faire pour résoudre cette question. L'énoncé de la question est pourtant simple:
Soit M une matrice de Mn(R).
In représente bien sûr la matrice identité dans Mn(R).
Montrer qu'il existe un entier p de N* tel que la famille (In, M, M², ..., M^p) soit une famille liée.
J'ai essayé de résoudre par l'absurde (mais je ne voie pas comment obtenir une contradiction), j'ai essayé avec le déterminant mais le déterminant d'une famille de matrices je ne voie pas trop quelle tête il a...
Merci d'avance pour votre aide !
Bonjour,
Le théorème de Cayley-Hamilton te donne une combinaison linéaire explicite entre I, M, M2,... Mn.
Donc {I, M, M2,... Mn} est liée.
Donc Il existe p 
n tel que {I, M, M2,... Mp} soit liée.
Au pire, p = n...
Euh... je n'ai pas encore vu le théorème de Cayley-Hamilton...
Donc il faut que je procède autrement.
Bien sur, H_aldnoer, tout p 
n convient, on le démontre par récurrence à partir de la formule de liaison donnée par le théorème de Cayley-Hamilton.
Ce qui est plus intéressant, c'est de trouver le p le plus petit possible, si possible p < n, mais ce n'est pas toujours le cas. C'est pour ça que j'avais écrit "au pire, p = n..."
Bonjour à tous,
En se passant du théoreme de Cayley-Hamilton :
Comme la dimension de Mn(R) est n2, toute famille d'au moins n2+1 éléments de Mn(R) est liée.
Sans le théorème de Cayley Hamilton :
On introduit une famille de n2 matrices Aij, 1 i n, 1 j n.
ces matrices possèdent un 1 en position (i,j) et des 0 partout ailleurs.
On montre facilement que ces matrices constituent une base de Mn(
)
Donc toute famille de plus de n2 éléments est liée.
On peut donc prendre p = n2+1
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