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montrer l'existence d'une application+algèbre
Bonjour,
On a une application f:N->N telle que pour tout n de N f o f(n)=n+p
p un entier naturel.
Si p est pair montrer qu'une telle application existe?
Alors pour cette question j'ai d'abord dit:
1er cas: n est pair donc n+p est pair
2nd cas n impair donc n+p impair
ensuite je sais pas par ou commencer pour démontrer l'existece de cette application...
j'ai juste trouvé une application pour laquelle ça marche (on ne demande pas d'en trouver plusieurs) et ça prouve bien son existence du coup !
Mais alors dans le cas où p est impair, on suppose que l'application existe
càd f o f(n)=n+p avec n est p entier naturel, p impair,
est que l'on peut trouver une expression de f(n)?
parce que ici le but est de démontrer que f est injective:
J'ai d'abord essayé de trouver une expression de f(n) pour qu'ensuite je puisse démontrer que:
f(n)=f(n') -> n=n'
si p impair: p=2k+1 avec k entier
donc si on suppose que f o f(n)=n+p existe
on peut trouver f(n) mais je n'arrive pas à trouver un f(n) pour que l'application marche
Donc pour démontrer l'injectivité de cette fonction:
f(n)=n+k+1/2= n+(p/2)
f(n')=n'+(p/2)
f(n)=f(n') n+(p/2)=n'+(p/2) si et seulemnt si n=n'
donc f est injective.
Pouvez vous me signaler les erreur de mon raisonnement si il yen a svp??
Montrer , f(n+p)=f(n)+p n entier naturel p aussi, f(n)=n+p/2
f(n+p)=n+p+(p/2)= n+(p/2)+p=f(n)+p
Pouvez vous me signaler mes erreurs svp??
tu n'as pas besoin de "trouver" une fonction pour montrer que c'est injectif.
si f(n)=f(n') alors fof(n)=fof(n') soit n+p=n'+p <=> n=n'
on a bien f(n)=f(n')=> n=n'
sauf erreur.
ahhh oui merci j'ai compris la,
mais pour les questions que j'avais faite avant: montrer que f(n+p)=f(n)+p
là il faut trouver f(n) non??
J'ai peut etre trouvé pour : Montrer f(n+p)=f(n)+p
fof(n+p)=n+p+p=n+2p
On en déduit f(n)=n+p donc f(n+p)=n+p+p=n+2p=f(n)+p
Peut tu me signaler mes erreurs stp?
non pas forcement.
on a fof(n)=n+p donc fof(f(n))=fofof(n)=f(n)+p
or f(n+p)=f(fof(n))=fofof(n)
conclusion f(n)+p=f(n+p)
Bonjour,
Soit une application f:N->N fof(n)=n+p avec n et p entier naturel
Montrer que quelque soit n appartient à N, f(n+p)=f(n)+p
En déduire quelque soit j appartient à N, f(n+jp)=f(n)+jp
J'ai réussi à montrer f(n+p)=f(n)+p mais je bloque à la 2ème.
Merci d'avance
Bonjour,
Soit une application f:N->N fof(n)=n+p avec n et p entier naturel
Montrer que quelque soit n appartient à N, f(n+p)=f(n)+p
En déduire quelque soit j appartient à N, f(n+jp)=f(n)+jp
J'ai réussi à montrer f(n+p)=f(n)+p mais je bloque à la 2ème.
Merci d'avance
Bonjour
on peut le montrer par récurrence sur j
c'est vrai au rang j=1 car f(n+p)=f(n)+p
supposons que c'est vrai au rang j
on a alors f(n+jp)=f(n)+jp
Dans l'expression précédente qui est vrai pour tout n remplaçons n par n+p
f(n+p+jp)=f(n+p)+jp
f(n+(j+1)p)=f(n)+p+jp
f(n+(j+1)p)=f(n)+(j+1)p
la relation est donc vrai au rang j+1
cqfd
Soit I= {0,1,2,...,p-1} , I'={i 
I/ f(i)I} et I''{jI / f(j)
p}
a) Montrer que (I',I'') est une partition de I
b)Montrer que f(I') 
I''
je sais pas comment commencer pour la a) :S
Salut 
Les éléments de I sont de deux types: ceux dont les images sont dans I et ceux dont les images ne sont pas dans I.
Tu devrais pouvoir conclure avec ça.
désolé je vois pas trop, c'est parce que j'ai pas trop compris les partitions et tous ca. j'essaie de chercher avec ce que tu m'a dit
La réponse est presque évidente en fait.
si k est un élément quelconque de I alors on à deux possibilités:
soit f(k)<p dans ce cas f(k)
p-1 c'est à dire que k est un élément de I'
soit f(k)p et dans ce cas k est un élément de I"
donc tout entier k de I est soit un élément de I' soit un élément de I"
(I',I'') est donc bien une partition de I
pour la question suivante c'est encore plus facile
pour tout i de I' on a f(f(i))=i+p donc f(f(i))p
ainsi f(i) est un élément de I"
d'où f(I')I"
tout d'abord comme j est un élément de I" on sait que f(j)p donc f(j)-p0. Ainsi k est bien dans 
et f(k) existe.
k=f(j)-p donc f(j)=k+p=f(f(k))
comme f est injective f(j)=f(f(k)) <=> j=f(k) cqfd
Sinon la dernière d) Montrer que f(I')=I''
On a montré que f(I')I'' , cela veut donc dire que I'' est I' sont confondus??
"cela veut donc dire que I'' est I' sont confondus??"
Ah non pas du tout du tout du tout. I' et I" sont des ensembles disjoints.
on sait que f(I')I"
or d'après la question d'avant on sait que si j est un élément de I" et que l'on pose k=f(j)-p alors j=f(k)
si f(k)=j donc k est un élément de I' (par définition car j appartient à I)
c'est à dire que j est l'image d'un élément de I'
donc I"f(I')
comme il y a I"f(I') et f(I')I" alors f(I')=I"
cela induit comme f est injective qu'il y a autant d'éléments dans I' que dans I"
appelons m le cardinal de I' et I"
le cardinale de I est donc 2m.
or par défintion le cardinal de I est p donc p=2m , c'est à dire que p est pair.
Conclusion: il n'existe d'application f tel que p soit impair.
sauf erreur.
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