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Montrer qu'un anneau intègre fini est un corps
Bonjour,
Dans un exercice de cours sur les corps, on nous demande de démontrer
qu'un anneau intègre fini (A,+,*) est un corps.
Dans la réponse, on prend un élément a non nul de A et on montre qu'il est inversible.
Pour cela, on considère la fonction .
Si cette application est bijective, on peut trouver un b tel que f(b)=1 (1 étant l'élément neutre de *)
et dans ce cas, f(b) = 1 = a*b, ce qui prouve que a est inversible.
Jusque là tout va bien, mais c'est lorsau'on nous démontre que f est bijective que je ne comprends pas.
Il est dit : "Comme c'est une application d'un ensemble fini dans lui-même, il en vient qu'elle est surjective".
Quelqu'un pourrait-il me donner les indices qu'il me manque pour être convaincu par la phrase ci-dessus ?
Si je prends l'ensemble {0,1,2,3} muni de la multiplication usuelle, par exemple,
l'application ne me paraît pas surjective.
Merci.
P.S. :
J'ai trouvé cet exercice dans le livre suivant :
Précis d'algèbre (Tome 1) 3ème édition
D. Guinin, F. Aubonnet, B. Joppin
ISBN 285 394 644 4
Aux éditions Bréal (1993)
Salut 
Si tu prends f une application de E dans lui même injective alors fatalement card(f(E))>= card(E) et on a donc égalité puisque f(E) est inclus dans E.
Finalement card(F(E))=card(E) et f(E)=E (ie, f esst surjective).
Moralité:
Soit E un ensemble fini et f:E->E. Alors on a équivalence entre:
i) f est bijective.
ii) f est injective.
iii) f est sujective.
bonsoir
f une application de E dans lui même injective alors fatalement card(f(E))>= card(E)
Je n'ai pas compris...
Bonsoir,
petite question stupide (mais mon prof m'a mit le doute tout à l'heure!):
on n'a pas besoin de supposer notre anneau commutatif pour démontrer se résultat, ou je me trompe?
Et une remarque pour le début du topic, l'existance de l'élément unité devrait être prouvée puisque l'anneau n'est pas supposé unitaire, ou je me trompe aussi...
Dans la littérature française, quand on parle de corps on parle de "corps commutatifs" sauf si c'est explicitement dit que "les corps ne sont pas supposés commutatifs".
De même (mais là, même dans la littérature anglo saxonne ça reste vrai en général) les anneaux sont, sauf mention contraire, toujours supposés unitaire.
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