Calculer les conjugués de ces éléments...

Ou bien : Quel est le nombre d'élément d'ordre 2 dans A4 ?

Oui mais il y'a 3 éléments non triviaux, et il y a 20 autres éléments dans S4, alors il faudrait faire 60 calculs !

Dans A4 il y a 9 éléments d'ordre 2 : 6 transpositions et les 3 éléments non triviaux du groupe de Klein

Oups pardon ; dans A4, il y a seulement les 3 éléments non triviaux du groupe de Klein qui sont d'ordre 2, je croyais que c'était dans S4

salut florent,

c'était pas une des questions du DM de l'année dernière?

Je suis d'accord avec ta première phrase.

Par contre je ne suis pas d'accord : les transpositions ne sont PAS dans A4 (le groupe alterné)

Bon bon. Mon commentaire était en trop.

Oui Romu, et j'avais réussi à la faire il me semble !!
Le problème c'est que j'avais prêté mon DM à quelqu'un après qu'il ait été corrigé, et je crois que je l'ai jamais récupéré...

Bon alors dans le groupe de Klein, on a tous les éléments d'ordre 2 de A4, qu-est-ce que je peux en déduire ?

Que c'est faux : l'élément neutre n'est pas d'ordre 2.

Pardon, c'est vrai...

A faire : le conjugé d'un élément d'ordre n est encore d'ordre n !

La conjugaison...on appelle ca aussi "automorphisme" interieur...

J'ai pas dit que tous les éléments de V sont d'ordres 2, j'ai dit que tous les éléments d'ordre 2 de A4 sont dans V

D'accord, la conjugaison conserve l'ordre de l'élément, c'est facile à montrer, donc on arrive à ce que V est distingué dans A4, mais moi je voulais dans S4 !

A propos d'automorphisme intérieur, quels sont les automorphismes extérieurs de S4 ? de A4 ?

A4 est distingué dans S4 non... (mais attention, on ne peut pas faire cette conclusion dans un cas plus général)

Ce n'est pas très clair...

Lorsqu'on conjugue le groupe de Klein dans S4 il reste dans A4 (car A4 est distingué). Comme dans A4 il ne peut pas bouger (argument sur les ordres des éléments) c'est fini !

C'est quoi un automorphisme extérieur ? Intérieur je connais pas pas extérieur...

Ha d'accord j'ai compris pour V distingué dans S4 ! MErci bien tout le monde

héhé. Un automorphisme extérieur est un automorphisme qui n'est pas intérieur.

C'est pas tout a fait ça, en fait comme Int(G) le groupe des automorphisme interieurs est ditingué dans AutG
On a une suite exacte 1->Int(G)->Aut(G)->Ext(G)->1

A mon avis il n'y a pas d'automorphisme extérieur dans S4 parce que la dernière question de l'exercice que je suis en train de faire, c'est "montrer que Aut(S4) est isomorphe à Int(S4)" ^^

Pour revenir sur la question des automorphismes exterieurs...On peut montrer que les automorphismes de Sn sont tous interieurs....sauf pour n=6...

Et concernant An ?

Et je ne suis pas sûr d'avoir compris ce qu'était un automorphisme extérieur. C'est un élément de l'ensemble Aut(G)\Int(G) ? Mais c'est même pas un groupe alors ?

Ha bon. Int(G) n'est pas distingué dans Aut(G) ?

Oui un automorphisme exterieur c'est un elemnt de AutG/IntG...pourquoi ce ne serait pas un groupe?

Pour les auto exterieurs de An la situation est plus complexe...il me semble que les automorphisme exterieur de An soient toujours Z/2...sauf pour les premiers n=0...6.
A6 va poser probleme parce ce que S6 lui meme en pose et les Ai pour i<5 sont marginaux (resolubles alors que les autres sont simples etc...m'etonnerait pas qu'il aient aussi un comportement singulier pour leurs automorphismes exterieurs)

Ben dans Int(G), y'a l'identité, et donc elle est pas dans Aut(G)\Int(G)

Pour le reste ça me dépasse !

Ah non! C'est un element du quotient AutG/IntG pas de AutG privé de IntG

Ah ok d'accord !
Bon allez je retourne à mon exo
Merci encore