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Montrer que Q dense dans R, fonction partie entière

Posté par
pauppau 18-03-10 à 22:10

Bonsoir à tous,

Je prépare le CAPES de maths et je suis en train de rédiger une leçon sur "construction de Q. Propriétés".

Je dois montrer que Q est dense dans R,
Je sais le faire en utilisant la fonction partie entière.. Mais le problème c'est que je ne sais pas si j'ai le droit d'utiliser cette fonction étant donné que je construits Q et que je suis donc censée tout construire et donc construire la fonction partie entière...

Le problème c'est que la preuve est difficile: elle fait intervenir notamment la notion de archimédien etc...

Donc, est-ce que il est possible d'utiliser la fonction partie entière en la mettant dans les pré-requis ??

J'espère que vous pourrez m'aider..

Posté par
Drysssre : Montrer que Q dense dans R, fonction partie entière 18-03-10 à 22:14

Franchement, je vois pas ce qu'il y a de compliqué dans le fait que N soit archimedien. C'est clair par la construction de N,Q et R.

Posté par
pauppaure : Montrer que Q dense dans R, fonction partie entière 18-03-10 à 22:18

oui peut être mais moi je n'arrive pas à montrer que Z est archimedien.

Posté par
verdurinre : Montrer que Q dense dans R, fonction partie entière 18-03-10 à 22:55

Bonsoir,
il me semble évident que si N est archimédien (ce qui découle de sa construction) alors Z est archimédien, en identifiant Z+ à N.
Quelle est ta définition d'archimédien ?

Posté par
pauppaure : Montrer que Q dense dans R, fonction partie entière 18-03-10 à 22:58

Bonsoir Verdurin,

Z est archimédien si pr tt x € Z+\{0},pr tt y € Z+
il existe n € N tq nx>y

c'est bien ça

Posté par
verdurinre : Montrer que Q dense dans R, fonction partie entière 18-03-10 à 23:29

Je vois qu'on est d'accord sur les définitions.
On identifie Z+ à N
Il reste à montrer que :
\forall(m;n)\in \mathbb{N}^*\times \mathbb{N} \exist k\in \mathbb{N} \text{ tq } km>n

Par définition (n+1)\times 1 > n or m\geq 1 donc (n+1)\times m > n

Il est clair que cette <<démonstration>> comporte des trous béants.
Mais je ne te conseille pas de refaire la construction de au CAPES. Il me semble que c'est hors programme.

Posté par
pauppaure : Montrer que Q dense dans R, fonction partie entière 19-03-10 à 09:14

bonjour,

Je ne vois pas pourquoi votre démonstration a des trous béants. Qu'entendez-vous par cela ?
Sinon malheureusement la construction de N est au programme.. c'est l'objet d'une autre leçon.
J'ai déjà rédigé cette leçon mais je n'avais pas montré que N est archimédien étant donné que j'en avais pas besoin. Là, je réalise la leçon sur la construction de Q et je veux montrer que Q est dense dans R pour cela je dois utiliser la partie entière.
Et pour démontrer la partie entière je dois utiliser le fait que Q est archimédien.. et par conséquent le fait que Z l'est..
J'espère que vous aurez encore un peu de temps à m'accorder..

Merci d'avance


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