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Montrer que Z est un sous espace affine
Bonjour à tous
Soient n
m 2 entiers naturels non nuls. On considère {a1,a2,...,an} et {b1,b2,....bn} deux ensembles de nombres réels. On suppose que pour i
j, aibj. Montrer que l'ensemble Z = {f 
[x] / f(ai) = bi 
i{1,..n} et deg f m} est un sous espace affine.
Z = {f m[x] / f(ai) = bi i{1,..n} }
soit 
: m[x] 
W = Rn
f 
(f(ai))
.
.
.
(f(an))
f - 1( {w0} ) = Z
Z = { fm[x], (f) = }
avec = (b1)
(b2)
.
.
(bn)
f: RR
R[x]R
ff(a)
est linéaire, car l'évaluation d'un polynôme en un point est linéaire.
Si - 1()
alors Z est un espace affine de direction Ker de dimension = dim(Ker)
=> dim(Ker ) = m+1 - n => 
0
Montrons surjective:
fi(x) =
le polynôme f = b1f1(x) + b2f2(x) + ..... + bnfn(x) vérifie f(ai)=bi i={1,....,n}
ce f a un degré n-1n fonc f est surjective.
=> Z est un espace affine.
= Ker
= {f R[/sub][x], (f) = 0}
={f R[sub]m[x] tel que f(ai) = 0, i = 1,...,n}
={f Rm[x], f s'écrit f = (x-ai).......(x-an) * g où gm-1(x)}
Voilà j'ai quelques petites questions sur cette exercice:
1). Pourquoi dim(m[x]) = m + 1 ? (j'aurais plutôt dit m)
2). Pour montrer que Z est un sous espace affine, il faut montrer que Z possède une application linéaire , que celle-ci est injective et surjective => bijective, donc il faut montrer que est bijective ?
3). Pourquoi fi(x) s'écrit comme ceci ? c'est une formule 
Merci d'avance pour vos réponses 
Bonjour,
1) Les polynômes de degré au plus n forment un espace de dimension n+1 car on considère les constantes. Une base est donnée par .
2) Que veut dire "il faut montrer que Z possède une application linéaire ?"
3) Attention la formule est fausse pour . Ta formule n'est même pas définie ! Il faut écrire :
Et en mots : il s'agit de l'unique polynôme de degré au plus n-1 qui est nul aux points ,
et qui vaut 1 au point
.
D'autre part ce n'est pas f qui est surjective, c'est !
Cet exercice est risque de confusion car on s'occupe d'espaces vectoriels de polynômes. C'est-à-dire que les fonctions linéaires sont des fonctions de polynômes (des fonctions de fonctions !). Il faut juste bien faire attention à qui sont les vecteurs (les polynômes) et qui sont les applications linéaires.
Bonjour tringlarido
1). ok
2). En fait on doir montrer que Z est un sous espace affine, mais qu'est ce qu'on doit montrer pour que Z en soit un ? (bijection = injection + surjection ?)
3). je ne comprends pas vraiment cette méthode pour montrer la surjectivité
4). En fait on a montré l'injectivité avec le noyau Ker ?
Est-ce qu'un sous espace affine à toujours pour direction le noyau ?
Merci pour ton aide 
Dans ce contexte, un espace affine est un sous-ensemble d'un espace vectoriel de la forme v + F où F est un sous-espace vectoriel. En particulier, le vecteur nul n'appartient pas forcément à v + F. On peut construire les sous-espaces affines comme image réciproque par une application linéaire d'un sous-espace affine ici : (a est un sous-espace affine de
de dimension 0).
La direction d'un espace affine est précisément le sous-espace F de cette définition. Il s'agit bien du noyau de si le sous-espace affine est de la forme
(c'est une simple vérification).
Application surjective : tout élément de l'image admet un antécédant. C'est précisément ce qui est fait ici.
Bon courage.
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