Bonjour

est bijective et

Oui, mais ce que je ne comprend pas vraiment, c'est où interviennent les deux groupes.

C'est exp(x+y) où + est la loi du groupe de départ, et on trouve exp(x)exp(y), où est la loi du groupe d'arrivée!

Salut,

Une réponse simple à ta question serait la définition d'un morphisme groupe.

Soit G et G' deux groupes.
On appelle morphisme de groupes toutes applications f de G dans G' tel que f(x+y) = f(x) + f(y) ou le plus de droite représente la loi pour le groupe G et celui de gauche pour le groupe G'.

Mais comment sait-on que exp(x+y) est un groupe?

x et y sont des éléments du groupe de départ donc z = x + y appartient également au groupe de départ.
Donc si tu as une application f d'un groupe G dans un groupe G' alors tout élément de G auquel on applique f sera un élément de G' d'ou f(x+y) = f(z) G'

Ca commence à etre plus clair, mais ce qui me parait encore un peu étrange, c'est que l'on se sert seulement d'un égalité pour définir un morphisme, alors que j'ai cru comprendre que c'était une application, on devrait donc avoir quelque chose de la forme : "quelque chose donne quelque chose", et non pas une égalité, non?

regarde la definition d'un morphisme plus haut

On a pas de correspondance mais une égalité, non?

Désolé si mes questions peuvent paraitre absurdes, mais j'ai du mal a me représenter ce qu'est un morphisme.

Bonsoir,
Comme il a été dit plusieurs fois un morphisme de groupe, f, c'est (une fleche dans la catégorie des groupes...pardon...) une application entre deux groupes (G,*) et (H,@) tel que pour tout x,y on ait f(x*y)=f(x)@f(y)

Ici les groupes sont R muni de l'addition et R*+ muni de la multplication...ce sont bien des groupes. exp: R->R*+, est bien une application de R dans R*+ qui verifie bien exp(a+b)=exp(a) exp(b)

Pourquoi le groupe de départ est il R dans cet exemple? (S'il vous plait ne désespéré pas)

Ben parce qu'on part de R....on définit l'exponetielle sur R (en fait sur C mais peu importe ici). Disons que l'exponnentielle définit un morphisme de groupe entre ces 2 groupes precisment...

Mais qu'est-ce qui appartient à R, x ou bien y, ou bien x+y? Je ne vois pas à quoi correspond l'esnsemble de départ et celui d'arrivé.

Ben les 2 sont dans R.... l'exponentielle est definie sur R, quand x est dans R et y est dans R alors x+y l'est aussi...R est ou groupe...Ca a donc un sens de parler de exp(x), exp(y), exp(x+y)...
Tu a du certainement deja voir ça non?

oui j'ai déja vu ça.

Et donc l'ensemble d'arrivé correspond à l'ensemble qui contient f(x*y) et f(x)@f(y), c'est bien ça?

Je comprends pas ce que tu veux dire...
Est ce que tu es d'accord que exp va de R dans R*+ et que ces deux ensembles sont des groupes?

Je suis d'accord que exp va de R dans R*+ et que ces deux ensembles sont des groupes.

Bon pour savoir si c'est un morphisme il ne reste plus qu'a se demander si pour x et y quelconque dans le groupe de départ exp(x+y)=exp(x)exp(y) ce qui est bien le cas

oui l'ensemble d'arrivée est bien celui qui contient l'image de f(x*y) et f(x)@f(y).

Ce qu'il faut que tu comprennes c'est que un morphisme de groupe  n'est ni plus ni moins qu'une application qui part d'un groupe pour aller dans un autre.

de plus il respecte le fait que si on prend deux éléments dans le premier groupe et qu'on les compose avec la loi de ce groupe alors l'image de l'élément obtenu est égale à la composition des images des éléments passé indépemdement dans cette application.

Je sais pas si c'est bien claire vu comme ca mais reprend toutes la discussion a tête reposer et a mon avis tu comprendras.

Bon courage

Merci beaucoup, ça commence à faire son chemin.
Bonsoir