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Morphisme de lois de composition interne et contre-exemple .
Bonsoir à vous tous , chers amis de l'île ^_^!
Je vous présente mon problème :
Soient un ensemble E muni d'une loi de composition interne * , un ensemble F muni d'une loi de composition interne $ et une application f : E -> F .
On suppose que ces lois sont associatives et que f est un morphisme de (E,*) dans (F,$) .
Supposons que ces deux ensembles admettent un élément neutre .
x
E , on a:
f(x)=f(x*1e)=f(x)$f(1e)
f(x)=f(1e*x)=f(1e)$f(x)
Si f est surjective , alors j'arrive à conclure que f(1e)=1f .
PROBLEME:Trouver un contre-exemple où f n'est pas surjective .
Je ne sais pas construire cette fonction mais je me doute qu'il faut travailler sur (E,*) et (F,$) telle que l'image de l'élément neutre de E ne soit pas l'élément neutre de F . Avez-vous une idée ?
Bonjour si tu regarde Z/2Z*Z/2Z que l'on muni de la multiplication suivante (a,b)*(c,d)=(ac,bd) alors le neutre est (1,1) et pourtant si tu prend Z/2Z->(Z/2Z)² qui a x associe (x,0), il envoie le neutre sur (1,0) et pourtant il respecte bien les lois de composition
Les deux ensembles sont donc Z privé des nombres pairs ? Comment justifie-t-on que cette application n'est pas surjective ?
Ben c'est évident vu que son image est dans Z/2Z*{0}. Et puis si elle met en defaut ta propriété qui est vrai des que l'application est surjective...c'est que l'application n'est pas surjective.
Désolé Rodrigo , je suis surement un peu nigaud , mais entre ce que j'ai écris et ton contre-exemple je n'arrive à déterminer qui est E , qui est F , ce qu'est * et ce qu'est $ , et j'ai du mal à comprendre ta multiplication qui manipule des couples de nombres.
Tu pourrais m'expliquer plus en détail ou as-tu trouvé un contre-exemple plus simple , quelqu'un d'autre peut-être ?
Bonjour
C'est pareil que l'exemple de Rodrigo, mais peut-être que tu le comprendras mieux.
Prends définie par f(n)=(n,0) tous les ensembles étant munis de la multiplication. On a bien f(nn')=(nn',0)=(n,0)(n',0). L'élément neutre de Z est 1, celui de
est (1,1) et pourtant f(1)=(1,0).
Bon ton ensemble de départ c'est Z/2Z ton ensemble d'arrivée c'est (Z/2Z)². Mais en fait je sais pas pourquoi j'ai pris Z/2Z, R ou C ou Q fonctionne tres bien, donc prenons C pour faire simple.
Donc ton ensemble de depart c'est C et ton ensemble d'arrivée CxC
Tu muni le premier ensemble de la multiplication naturelle, et le deuxième de la multiplication composante par composante. Le neutre etant alors (1,1)
Ton application c'est celle qui a x associe (x,0). Elle respecte les lois de compositions puisque f(ab)=(ab,0)=(a,0)(b,0), et l'image du neutre c'est (1,0) qui n'est pas le neutre de CxC
Est ce plus clair?
tu y es venu aussi!Heu ben disons que c'est beaucoup plus soft comme maths, donc bon...Et puis je ne réponds a rien qui necessite l'emploi d'un stylo ou d'une feuille donc...(enfin selon alain connes il n'y a aps de mathématiques qu'on ne peut faire de tete 
)
C'est ca . Mais j'essaie sa technique, quand c'est trop le foutoir dans ma tete je vais faire un tour autour du lac a coté de la où je bosse...c'est vrai que ca éclaire...mais au retour je suis obligé de tout verifier par ecrit...
Thank you Rodrigo & Camélia ^_^!Vous m'avez beaucoup aidé .
PS:Ne te prends pas trop la tête Rodrigo 
!
Si je ne me trompe pas, j'ai un exemple beaucoup plus simple qui s'inspire des votres: il s'agit de prendre f:
, z 
Re(z). Il est trivial que f n'est pas surjective !!
Oh "o" ! amauryxiv2 , je crois plutôt(pas le chien de dingo "_"...) que c'est de vers et tu ne précises pas les lois utilisées . Tu peux préciser ?
Plus on est de contre-exemples , plus on est contre XD !
Non, c'est bien de et la loi de compositions interne est la multiplication. Si f=Re alors f(1e) = 1f et si f=Im alors f(1e) != 1f.
Et dans les deux cas f n'est pas surjective
Non l'exemple d'amauryxiv ne fonctionne pas...sa fonction ne respecte par les lois (et sa definition est plutot douteuse).
Exact ! Comment j'ai pu etre aussi bete ; Re(z1z2) n'est pas Re(z1)Re(z2)!!!!! Par contre si on choisit la somme comme operation, f n'est pas surjective et l'on a bien f(1e) = 1f.
Toutes mes excuses ! Heureusement que certains sont la pour me corriger !
J'espere que med112 lira Rodrigo ...
Au fait le contre-exemple que j'ai demandé consiste à montrer que l'image du neutre du premier n'est PAS le neutre du deuxième ensemble , pourquoi montres-tu le contraire amauryxiv2 ?
J'ai un système de deux équations dans mes calculs et c'est la surjectivité qui me permet de conclure . Ce soir j'ai un gros DM de physique-chimie à finir mais je posterai la démo demain soir si tu veux . =-) A+ !
Si f est surjective , yF , on a :
y=y$f(1e)
y=f(1e)$y
Donc f(1e) est un élément neutre de F par $ . Par unicité de l'élément neutre , f(1e)=1f .
This is for you my friend =]) !
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