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Morphismes d'algèbre de Mn(K) dans M2n(K)
Bonjour,
Je n'arrive pas à commencer l'exercice suivant... Merci d'avance pour votre aide !
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Soit une application linéaire de
dans
vérifiant
et
. On note, pour i et j compris entre 1 et n,
où
est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l'intersection de la ième ligne et de la jème colonne qui vaut 1.
1. Établir que les n matrices (i compris entre 1 et n) sont des matrices de projection et que
.
2. Établir, pour i et j compris entre 1 et n, la relation . En déduire que toutes les matrices 5$ F_{i,i} (i compris entre 1 et n) ont le même rang.
3. Justifier que le rang d'une matrice de projection est égal à sa trace.
4. En déduire que, pour tout i compris entre 1 et n, le rang de est égal à 2.
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Salut 1 Schumi 1,
En fait, je bloquais plus sur la première partie de la question (matrices de projection) mais maintenant c'est bon j'ai fait cette question. Mais merci quand même.
2. J'ai montré que, pour i et j compris entre 1 et n, FijFjjFji=Fii mais je n'arrive pas à en déduire que toutes les matrices Fii ont le même rang.
Dans le corrigé, il est marqué :
rg(Fii) < min(rg(Fij,Fjj),rg(Fji)) < min(min(rg(Fij),rg(Fjj)),rg(Fji)) < rg(Fjj)
Je comprends cette série d'inégalités (qui au passage est à prendre au sens large mais c'était plus simple d'écrire < désolé ^^) sauf la dernière étape. Comment justifier le < rg(Fjj).
Pour les premières inégalités, cela se justifie par rg(AB) < min(rg(A),rg(B)) mais pour la dernière...
Merci d'avance !
Salut 
Par définition, le min d'une famille est inférieur à chaque élément de la famille. Ca n'a rien à voir avec le fait qu'on est des rangs ici, c'est juste parce que min(a,b,c)<= a quand t'es sur un ensembe totalement ordonné.
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