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Morphismes du groupe symétrique vers C
Salut
Un exercice que je pense bête et où je bloque 
Déterminer les morphismes du groupe vers
Merci 
Salut monrow! 
.
Commence par observer que l'image de par un tel morphisme est un sous-groupe fini de
, donc que c'est le groupe des racines p èmes de l'unité avec
.
Observe ensuite que l'image de toute transposition vaut nécessairement 1 ou -1, et que cela reste donc vrai pour l'image de toute permutation.Conclus
Salut mon tigre ! 
1) Oui, c'est clair que l'image de Sn est un sous groupe fini de (C*,x). Mais est-ce que le groupe des racines pième de l'unité est le seul sous groupe fini de C*? :s
2) On considère une transposition s. on a s²=Id. On appelle f un tel morphisme, on a: f(t)²=1 donc f(t)=+/-1
1)Oui, car tout sous-groupe fini du groupe des inversibles d'un corps est cyclique, et tout sous-groupe cyclique de (C*,x) est engendré par une racine p ème de l'unité, où p est l'ordre du groupe.
2)Oui
Bon ok. On sait que les transpositions engendrent le groupe cyclique.
On considère une permutation quelconque s
on a:
si f(t)=1 on a: f(s)=1 pour tout N. f est l'application qui à s associe 1.
si f(t)=-1 on a: f est la signature.
c'est rigoureux comme raisonnement?
tout sous-groupe fini du groupe des inversibles d'un corps est cyclique
->du groupe des inversibles d'un anneau commutatif, pardon!
Qu'appelles-tu t dans ton raisonnement?
Voilà, c'est toute la question!
Avant de t'intéresser à cela, conclus sur l'ensemble des choix possibles pour
Tu sais que l'image d'une transposition par f vaut soit 1, soit -1.
En utilisant le fait que toute permutation est un produit de transpositions, que peut-on en déduire?
est incluse plutôt!Donc que c'est {1} ou {-1;1}.Le premier cas se réalise ssi f est l'identité.
De plus, on peut relier ces deux possibilités à l'image par f des transpositions.
Déjà, convaincs-toi que si toute transposition a pour image 1, alors f=id.
Es-tu convaincu?
Mais non!
Suppose que toute transposition ait pour image 1.
Soit p une permutation.Comment prouver que f(p)=1?
OK!
Passons donc à l'autre cas possible, c'est-à-dire au cas où l'on suppose qu'il existe une transposition t d'image -1 par f.Il faut prouver que f est égale à l'application "signature".
Essaie de prouver que Ker f coïncide avec l'ensemble des permutations paires.
Cela prouvera exactement ce qu'on cherche.
Pour cela, que peut-on dire de Ker f dans ce cas précis?
Bon je te laisse réfléchir, je vais bientôt éteindre l'ordinateur.
Bonne soirée et à bientôt monrow!
voilà ce que j'ai dit:
p€Ker(f) <=> f(p)=1
p s'écrit sous la forme d'un produit de N transpositions, donc f(p)=(-1)^N
N est alors pair et donc Ker(f) coïncide avec les permutations paires
J'ai bien peur que ça soit foireux ...
Re monrow!
p s'écrit sous la forme d'un produit de N transpositions, donc f(p)=(-1)^N
->Erreur de raisonnement, on ne sait pas encore que l'image par f de toute transposition vaut -1.
Je repose ma question d'hier: que dire de Ker f?
Re Tigweg !
Sérieusement je ne vois plus comment montrer que Ker(f) est l'ensemble des permutations paires ! 
Bouleversé?Mal réveillé peut-être lol! 
On a appelé f le morphisme, donc en effet |Ker f|=n!/2 .
De plus Ker f est distingué dans .
Quels sont les sous-groupes distingués de pour
Et voilà pourquoi je me disais que je comprend plus rien ! 
Les sous groupes distingués ne sont pas au programme de prépas !
Bon onn continue alors avec ça
Le seul sous groupe distingué de Sn pour n > 4 est le groiupe alterné
ainsi Ker(f)=An est donc c'est le groupe des permutations paires !!!
Ainsi on a aussi si je ne m'abuse: et hop ça se démontre
j'espère bien que ça ne va pas être faux sinon y a un balcon à côté de moi par lequel je vais me balancer ....
Les sous groupes distingués ne sont pas au programme de prépas !
->Où as-tu pris cet exercice?
Le seul sous groupe distingué de Sn pour n > 4 est le groiupe alterné
->Il y a aussi {id} et
ainsi Ker(f)=An est donc c'est le groupe des permutations paires!!!
->Oui, en tout cas pour
Pour conclure il est inutile de parler d'image:
On connaît ainsi l'image de toute permutation par f.
j'espère bien que ça ne va pas être faux sinon y a un balcon à côté de moi par lequel je vais me balancer ....
->Réserve-toi pour une plus belle occasion, ce serait dommage de te faire du mal pour un exercice sur le groupe symétrique!
Pardon, je rectifie:
->Pour on vérifie qu'aucun autre sous-groupe distingué de
(et pas de
) n'a pour cardinal
.
C'est un exercice de prépa ! Résoluble en spé ou m^me en sup 
Exercice 4 ici : 
J'ai pas encore compris leur correction ...
Ah oui mille excuses c'est beaucoup plus simple ainsi, je n'avais pas pensé à cela!
Je t'explique:
tout le problème vient de fait qu'on aimerait prouver que toutes les transpositions ont pour image 1, ou que toutes les transpositions ont pour image -1.
Pour cela, il suffit en effet de prouver que toute transposition a même image que la transposition
.
Un résultat élémentaire (et très utile!) dit que pour toute permutation p et tout cycle , on a
On a , donc il existe
tel que
.
On applique alors f (et le fait que c'est un morphisme de groupes) à l'égalité pour en déduire que:
Cette égalité entre nombres réels s'écrit bien:
.
euuuh, on peut pas dire que si alors
(car on travaille avec des complexes, ou m^me des réelles) avec t=(1 2)?
Merci mon plus grand tigre au monde !
->Lol!
Avec plaisir
En fait, je veux bien démontrer le résultat utile que tu m'as donné, on n'a pas ça sur le cours
-> Regarde déjà l'image de p(a1) par l'application écrite dans le membre de droite de l'égalité
J'avais commencé par écrire que tout sous-groupe fini du groupe des inversibles d'un corps est cyclique, et j'avais ensuite corrigé en remplaçant "corps" par "anneau commutatif".
Finalement j'ai un doute, je vais vérifier mais il me semble que c'est la première version qui était la bonne.
De toute façon, on ne s'est pas servi de ce résultat!
Greg >>
Finalement j'ai un doute, je vais vérifier mais il me semble que c'est la première version qui était la bonne.
La première version est vraie, c'est connu. Par contre, si l'autre version est vraie et que tu retrouves la démo, je suis tout à fait prenant. (J'ai un vrai doute si l'anneau n'est pas intègre ceci dit...)
Ayoub> Oui tu as raison, je me suis laissé emporter par mon optimisme!
Le résultat en question ne semble être vrai que pour le groupe des inversibles d'un corps.
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