Bonjour,

Pour montrer que f ou g sont des morphismes de groupe, il suffit juste de montrer que f(xy)=f(x)f(y) (respectivement g(xy)=g(x)g(y) ) pour tout élément x et y de C^* (respectivement de U ).

Bonjour

Il faut préciser la structure ! Et vérifie ta définition de morphisme de groupe

Oups salut Narhm ! (entre toi et Arkhnor c'est pas évident à écrire vos pseudos )

Hé hé salut ! Pas de probleme : )

Je t'avoue que moi aussi j'arrive à écrire assez souvent Nahrm à la place de Narhm !

Bonjour à vous

Oui oui pardon j'ai écrit quelque chose de complètement faux, je ne m'en étais pas rendue compte.
Ce que je veux dire c'est que j'ai réussi à montrer que f est un morphisme (pas très dur), mais je ne vois pas trop comment montrer que c'est un morphisme surjectif, rien dans mon cours ne parle de morphisme surjectif, mais simplement d'injectif alors je ne vois pas trop !

Infophile qu'entends tu par "il faut préciser la structure" ?
Je dois préciser que je pars d'une loi multiplicative sur C*?

Dire f est un morphisme de groupe surjectif, ca veut tout simplement dire que f est un morphisme de groupe et que f est surjective ( i.e. pour tout élément du groupe d'arrivé, on peut lui trouver un antécédent par f du groupe de départ ).

U c'est le cercle unité. Il faut donc montrer que pour tout y de U, on peut trouver un élément x de C^* qui vérifie f(x)=y.
Prends un point du cercle unité, comment l'écrirais-tu sous forme complexe ?

Un point du cercle unité est un point de module 1 donc , mais c'est ce que j'ai tenté de faire, passer par la forme exponentielle, mais du coup j'arrive à y= (simplification du module au dénominateur).

Ce que je veux exhiber, c'est un z de C*, vérifiant y=f(x).
Au niveau de la rédaction, je ne vois pas, après j'ai bien compris le problème C'est surtout pour être rigoureuse

Pardon j'ai oublié de préciser, j'ai considéré y de U les images des Z de C*

D'accord, juste un soucis de rédaction alors.
Montrons que f est un morphisme de groupe surjectif.

Soit z un élément de U. Alors |z|=1, et on sait qu'il existe un réel t tel que z=exp(it).
Cherchons un complexe non nul, x, qui vérfie f(x)=z=exp(it).
On constate que f(z)=f(exp(it))=exp(it)=z !

Ainsi pour tout élément z de U, il existe un élément x (=z lui même par exemple ) de C^* qui vérifie f(x)=z.
f est bien surjective.

Merci beaucoup, je n'aurais pas pensé cependant à introduire t

Bon je m'occupe de déterminer les noyaux alors

Je pense à la surjectivité de g, avec y de U, je dois exhiber un x de U tel que y=g(x). Donc j'ai y=z² mais je n'ai pas le droit de dire z=rac(y)?

L'idée est à peu de chose pres la meme pour le morphisme g : exp(it)=exp(it/2)^2 non ?

Pour le noyau, il te suffit de te souvenir que exp(it)=1 si et seulement t=2kPi, k dans Z.

Oula... Pour les noyaux je trouve Ker(f)=R et Ker(g)={-1,1}, j'imagine que je suis loin du compte ?

Pour le noyau de f, c'est presque ca. Est ce que les réels négatifs sont dedans ?

Pour le noyau de g, c'est ok.

_{Excuse moi, je pensais à autre chose quand je t'ai indiqué mon histoire de exp(it)=1 si et seulement t=2kPi, k dans Z.}

Ah oui pardon c'est R+, le module correspond à la valeur absolue !

Merci

Je vais continuer à faire des exercices sur les structures algébriques, je pense que j'aurais de nouveau besoin de ton aide si tu restes par ici