Niveau Maths sup

Moyennes

Posté par
Bardamu 20-09-09 à 15:51

Bonjour je suis bloqué à mon Dm de maths j'ai démontré que $sqrt(xy) \le \frac{x+y}{2}$ . Maintenant il demande :

En déduire par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour $x_1 , x_2 ,..., x_n$ $\in \mathbb{R}_{+}$ :
$(\prod_{k=1}^{2^n}x_k)^{\frac{1}{2^n}} \le \frac{1}{2^n^}\sum_{k=1}^{2^n}x_k$

L'initialisation j'ai réussi mais l'hérédité je n'y arrive pas.

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par re : Moyennes 20-09-09 à 16:26

Bonjour

Tu supposes $3$x_1,x_2,\ldots,x_{2^{n+1}}$ des nombres positifs.

L'hypothèse de récurrence est :

$3$(x_1 \ldots x_{2^n} )^{\frac{1}{2^n}} \leq \frac{x_1 + \ldots + x_{2^n}}{2^n}$

Or :

$3$(x_1 \ldots x_{2^{n+1}} )^{\frac{1}{2^{n+1}}} \quad = \quad \left( (x_1\ldots x_{2^n})^{\frac{1}{2^n}} (x_{2^n+1}\ldots x_{2^{n+1}})^{\frac{1}{2^n}} \right)^{\frac{1}{2}} \quad \leq \quad \frac{1}{2} \ \left((x_1\ldots x_{2^n})^{\frac{1}{2^n}} + (x_{2^n+1}\ldots x_{2^{n+1}})^{\frac{1}{2^n}} \right)$

Il ne reste plus qu'à appliquer l'hypothèse de récurrence deux fois :

-une fois aux $3$x_1\ ,\ x_2\ ,\ \ldots\ ,\ x_{2^n}$
-une fois aux $3$x_{2^n+1}\ ,\ x_{2^n+2}\ ,\ \ldots\ ,\ x_{2^{n+1}}$

Posté par re : Moyennes 23-09-09 à 19:02

Salut je ne vois pas comment appliquer l'hypothè de récurrence aux $x_{2^n+1}+...+x_{2^{n+1}}$

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