Bonjour, Julie37.

L'application que tu étudies est injective.
Pour le démontrer, il suffit de démontrer que son noyau est réduit à la suite nulle, puisque l'application est linéaire.
Soit une suite u dont l'image par l'application est la suite nulle.
On a:
Au rang 0:      On n'en tire aucune conclusion...
Au rang 1:      On en déduit que
Je te laisse continuer.

Bonsoir

Moi je dis que oui. Supposons deux suites (u_n) et (v_n) différentes, x, u_x ≠ v_x. Si x ≠ k, pas de problème. Sinon, regarder ce qui se passe au rang k+1.

En fait Perroquet, je me suis mal exprimée je pense mais le k est fixe. Donc au rang 0 ça ferait: etc.. Donc en suivant ton raisonnement on a bien que des 0 jusqu'au rang k-1 mais au rang k on a: .
Merci à vous 2 d'avoir répondu, Bachstelze j'essaie de voir le rang k+1.

En supposant que pour tout nk-1 .
Et . J'obtiens pour le rank k+1:
mais je ne vois pas comment m'en sortir.

Que sont x_k et y_k?

Bonjour,

Par exemple, pour k = 2, quelle est l'image de la suite 0, 0 , 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,...  (où le terme de rang n vaut n(n-1)/2, pour n >1) ?

et c'est et pardon.

Bonjour à tous !

Perroquet à raison (même s'il n'avait (semble t-il) pas compris que k était fixe). L'application est linéaire et la recherche du noyau revient à résoudre un système "triangulaire", dont l'unique solution est la suite nulle.

Je suis perdue, en regardant la suite de Frenicle j'ai bien l'impression que cette suite et (0,0,...) ont la même image: (0,0,0,...).(Et encore, je n'ai pas su le démontrer pour tout les n). Donc pour k=2, on est tous d'accord qu'il n'y a pas injectivité?

Euh...je me suis emporté lorsque k=0, le noyau n'est pas réduit à l'espace nul.

En fait l'application n'est pas injective pour tout k. Car le système est triangulaire sauf à la "k+1ième" équation ce qui permet de choisir le k+1-ième terme (uk) (les termes de rang moindre étant nuls : cf suite de fernicle). Le noyau est une droite.
Ouf...

Le noyau est engendré par les suites ci-dessous :

k = 0 : (1,1,1,1,1,1,1,...)
k = 1 : (0,1,2,3,4,5,6,...)
k = 2 : (0,0,1,3,6,10,15,21,...)  Nombres "triangulaires"
k = 3 : (0,0,0,1,4,9,16,25,36,...) Nombres carrés
k = 4 : (0,0,0,0,1,5,12,22,35,...) Nombres "pentagonaux"

etc.

Encore faut-il le prouver

Bonjour.

J'ai en effet mal interprété l'énoncé de Julie.
Je ne connaissais pas l'exercice, qui est très intéressant.
Il permet de déterminer les valeurs propres de l'application T qui sont , décrivant

Merci à tout le monde pour ces réponses.
Finalement, il semble que pour tout k, l'application n'est pas injective car on peut au moins trouver une suite qui a la même image que la suite nulle.
J'ai l'impression que cette question est vraiment difficile à démontrer. Est-ce que quelqu'un aurait une idée d'expression générale pour un k quelconque et pour le démontrer?

Bonjour.

J'ai déterminé l'expression générale du noyau pour k quelconque. C'est la droite de base v, où v est la suite définie par:




Mon résultat n'est pas en accord avec celui obtenu par frenicle pour k=3 et k=4.
Mais il est possible que j'aie fait une erreur de calcul...

Bonjour,

Je confirme le résultat de perroquet (mais il faut identifier k et n).
Le terme général d'une base du noyau (pour k entier naturel) peut s'écrire plus simplement: puisque par convention quand .

Bonjour,

Désolé de vous avoir induits en erreur.
Comme mon post le laissait entendre (mais, je le reconnais, de manière très ambiguë), je n'avais rien prouvé, mais juste procédé "par induction" comme on disait au XVIIe siècle, à partir des premiers exemples numériques.
Dommage, c'était joli les nombres polygonaux
Encore désolé.

Merci, merci beaucoup, je rends mon devoir aujourd'hui, je suis fière de répondre à cette question, c'est grâce à vous, merci!