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[MPSI] Calcul d'une somme

Posté par
Julot777 05-09-09 à 15:02

Salut, j'ai un exercice à chercher, et je ne vois pas clairement comment m'y prendre.

D'abord, voici l'énoncé exact :

Citation :
Calculer : 4$\Bigsum_{k=0}^{n}~k \times k!

(Aucune condition sur les variables, rien de plus que ce que j'ai écrit ci-dessus)

J'ai vu qu'on pouvait utiliser le principe des sommes télescopiques, mais on n'a pas vu ça en cours. Peut-être par récurrence ? Auquel cas il me faudrait une conjecture, et j'ai du mal à la trouver, même en essayant pour plusieurs valeurs de 4$n.

Je vous remercie beaucoup d'avance pour votre aide !

Posté par
raymond Correcteurre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:09

Bonjour.

k.k! = (k+1)! - k!

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:12

Salut,

La stûce : (n+1)!=n!\times(n+1)

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:13

Salut raymond,

Grillé, je laisse.

Posté par
raymond Correcteurre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:16

Bonjour Sai-kun.

Tu peux poursuivre si tu veux, je ne me sens pas propriétaire de la question.

Bonne fin de journée.

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:18

A toi aussi, merci.

Posté par
Julot777re : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:39

Merci beaucoup Raymond et Sai-kun pour vos réponses ultra-rapides (je ne m'y attendais pas) !

Donc effectivement, 4$k! \times (k+1) = (k+1)!
4$\Leftrightarrow k! \times k + k! = (k+1)!
4$\Leftrightarrow k \times k! = (k+1)! - k! (réponse de Raymond)

On en vient donc à 4$\Bigsum_{k=0}^{n}~{k \times k!}=\Bigsum_{k=0}^{n}~{[(k+1!)-k!]}=\Bigsum_{k=0}^{n}~{(k+1)!}-\Bigsum_{k=0}^{n}~{k!}

Pas d'erreur jusqu'ici ?

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:41

Yep c'est ça, ensuite, ça se télescope.

Posté par
raymond Correcteurre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:45

OK, continue.

Posté par
Julot777re : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:57

Merci, donc on a :

4$\Bigsum_{k=0}^{n}~{(k+1)!}-\Bigsum_{k=0}^{n}~{k!}=0!+1!+...+n!+(n+1)!-[0!+1!+...+(n-1)!+n!]

Et on s'aperçoit que les termes s'annulent et qu'il reste 4$\Bigsum_{k=0}^{n}~{k \times k!}=(n+1)!

Pas d'erreur ?

Merci beaucoup en tout cas pour votre disponibilité, je vous en suis très reconnaissant.

Posté par
Julot777re : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 15:59

Il y a une erreur : il faut enlever le 4$0! donc il reste 4$(n+1)!-1

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:01

Presque!

3$\Bigsum_{k=0}^{n}~{(k+1)!}-\Bigsum_{k=0}^{n}~{k!}=\Bigsum_{k=1}^{n+1}k!-\Bigsum_{k=0}^n k!=(n+1)!-1

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:02

Ah oui, dans ce cas

Posté par
Julot777re : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:03

Donc au final ça donne, si j'ai bien compris :

4$\Bigsum_{k=0}^{n}~{k \times k!}=\Bigsum_{k=0}^{n}~{(k+1)!}-\Bigsum_{k=0}^{n}~{k!}=1!+2!+...+n!+(n+1)!-[0!+1!+...+(n-1)!+n!]=(n+1)!-0!=(n+1)!-1

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:03

Yep.

Posté par
Julot777re : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:04

Oui, désolé de t'avoir fait rectifier, je m'en suis aperçu juste après

Merci beaucoup Sai-kun et Raymond

Et à la prochaine !

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:07

Pas grave.

Avec plaisir pour ma part.

Posté par
Julot777re : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:13

Par contre, si ça te dérange pas, j'ai une petite question supplémentaire.

Au début, j'ai pas vu l'astuce parce que j'ai pas compris ce qui gênait le calcul. C'est le fait d'avoir un produit (k \times k!) ? Et qu'est-ce qui fait avoir le déclic pour se dire "tiens, il faut employer cette astuce" ?

Je sais pas si j'ai été très clair...

Posté par
Sai-kunre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 16:21

Re,

Ah, ben en fait j'ai pensé à ça car c'est un peu classique. T'inquiètes pas tu acquerras ce genre de "trucs" cette année.  

Posté par
raymond Correcteurre : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 17:19

Exact, à force de rencontrer des exercices, on se construit une expérience.

Bon week end.

Posté par
Julot777re : [MPSI] Calcul d'une somme 05-09-09 à 18:39

Je vois.
Merci bien, et bon week-end à vous !


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