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MPSI DM expression binômiale

Posté par
ChazyChaz 13-09-08 à 16:46

Bonjour à tous, je bloque sur un exercice de mon DM, où il s'agit de calculer :
\Bigsum_{k=0}^{n} k^{2}C_{n}^{k}

La question précédente de mon DM consistait à calculer :
\Bigsum_{k=0}^{n} kC_{n}^{k}
Avec l'indication fournie (dériver de deux manières différentes la fonction \rm P(x)=(1+x)^{n}.
J'ai donc réussi en dérivant de façon "normale" pour obtenir ;
\rm P'(x)={n}(1+x)^{n-1}, puis en écrivant avec le binôme de Newton P(x) et ensuite en dérivant P(x) sous forme du binôme, j'ai conclut que \Bigsum_{k=0}^{n} kC_{n}^{k} = {n}2^{n-1}.
Ainsi, je bloque sur la question : Calculer \Bigsum_{k=0}^{n} k^{2}C_{n}^{k}
Mon idée serait d'introduire un polynôme comme à la première question
que l'on pourrait facilement identifier à l'aide du binôme mais je n'y arrive pas,j'ai essayé de différentes manières, comme en écrivant \Bigsum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}x^k^2, mais je n'arrive pas à identifer de polynôme :'(
Voilà je m'excuse à l'avance pour la longueur du post,les fautes en Latex, et le fait de ne pas savoir résoudre cette question qui pourra paraître simple pour certains, mais moi je bloque.
Merci sincèrement à tous
(Je tiens à préciser que cette question a déjà été abordé sur un autre topic, à savoir https://www.ilemaths.net/sujet-proposition-les-kholles-sur-l-ile-152439.html )

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : MPSI DM expression binômiale 13-09-08 à 16:49

Salut

Utilise le fait que 3$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}

Posté par
Nightmarere : MPSI DM expression binômiale 13-09-08 à 16:53

Salut

Et si on dérivait deux fois?

On pose toujours 3$\rm P(x)=(1+x)^{n}

3$\rm P(x)=\Bigsum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}
Alors 3$\rm P'(x)=\Bigsum_{k=1}^{n} kC_{n}^{k} x^{k-1}
3$\rm P''(x)=\Bigsum_{k=2}^{n} k(k-1)C_{n}^{k}x^{k-2}=\Bigsum_{k=2}^{n} k^{2}C_{n}^{k}x^{k-2}-\Bigsum_{k=2}^{n} kC_{n}^{k}x^{k-2}

on prend x=1 :
3$\rm P''(1)=\Bigsum_{k=2}^{n} k^{2}C_{n}^{k}-\Bigsum_{k=2}^{n} kC_{n}^{k}

Posté par
ChazyChazre : MPSI DM expression binômiale 13-09-08 à 17:02

Nom d'une exponentielle négative, je vous remercie tous les 2 pour votre contribution, j'ai compris le raisonnement, ce qui est le principal.
Je vais recopier de ce pas mon DM

Posté par
Nightmarere : MPSI DM expression binômiale 13-09-08 à 17:15

Je t'en prie.


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