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mpsi groupe anneau morphisme
Bonjour à toutes et à tous
On vient juste de commencer les groupes ect... et nous voila déjà avec un probléme non évident
On souhaite résoudre l'équation diophantienne
(P) x² — 2y² = 1 équation de Pell
Dans tout le problème, n désigne un entier relatif qui n'est pas le carré d'aucun entier relatif.
Si n > O, on pose w =
n : on admet qu'il s'agit d'un irrationnel. Si n < O, on pose w = i-n On a donc toujours w²=n On note Z[w] la partie de 
définie par Z[w] = {a + bw : (a,b) 
²}}.
, Structure de [[w]
1. Soit z = a + bw [w] avec (a,b)² . Montrer que cette écriture est unique.
Réussi
2. Montrer que (Z[w],+,x) est un anneau intègre.
Réussi
3) Pour tout élément z = a + bw de Z[w], on appelle conjugué de z et on note z* le réel z*=a — bw. Montrer que f : z —> z* est un automorphisme d'anneau de Z[w] c'est-à-dire un automorphisme du groupe (Z[w],+) qui vérifie pour tout(z,z') [w]² f(zz')=f(z)f(z').
je n'y arrive pas
4. Dans toute la suite, pour tout élément z = a + bw de [w] on pose N(z) = zz*.
Montrer, pour tout (z, z) Z[w]², les propriétés suivantes:
(a) N(zz') = N(z)N(z')
(b) N(z)=O
z=O
(c) N(z)Z.
(d) z est inversible pour la loi x dans [w]|N(z)=1
Montrer alors que z^-1=
z* avec {-1,1}
je n'y arrive pas
5. Déterminer les éléments inversibles de [i] et de im avec m
2 entier naturel non carré.
merci de l'aide j'aimerais comprendre
Bonjour,
Bon alors pour montrer que la conjuguaison est un automorphisme d'anneau, il suffit de prouver que c'est un morphisme d'anneau (est ce que tu as reussi?) et pour montrer qu'il est bijectif remqrque que conj²=id
ou conj est la conjugaison.
Ben montre que conj(a+b)=conj(a)+conj(b), conj(1)=1 et conj(ab)=conj(a)conj(b), c'est juste un petit calcul straightforward.
Il suffit de l'écrire, je vois pas trop ce qui te bloque
Soit a=x+yw et b=z+tw, alors conj(a+b)=x+z-(y+t)w et conj(a)+conj(b)=x-yw+z-tw=conj(a+b)
Pareil pour le produit.
ok d'accord en fait je trouvé ambigu le fait d'appelé a et b existant déjà c'est vrai c'est tout bete
on utilise ce qu'on a fait avant pour la 4a ?
je suis désolé on doit rendre ceci mercredi et ce n'est que la premiére partie pourrait tu détaillé plus les réponses 
merci
Oui on utilise ce qui est fait avant.
La encore c'est un petit calcul N(zz')=zz'conj(zz')=zconj(z) z'conj(z')=N(z)N(z')
Si N(z)=0 alors zconj(z)=0 donc a²-b²w²=0=a²-nb²
Si b est non nul, ceci impose n=a²/b² mais donc racine de n=a/b mais racine de n est irrationnel.
Donc b est nul et du coup a aussi.
La c) est evidente d'apres ce que j'ai ecrit.
Pour a d) un sens est evident, vois tu deja lequel?
svp je vois pas pour quoi elle est finie quelqu'un peut il reprendre la démo pour que je comprenne car la je nage complétement merci
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