Salut !

Si tu veux mon avis, ce résultat est un peu compliqué pour une introduction de Tipe, les seuls preuves à peu près courte de ce résultat que j'ai déja vu utilise des notions de topologie algèbrique très au dessus du niveaux spé...


au passage l'énoncé que tu donne est très imprécis, par exemple (x,y,z)*(x',y',z') = (xx',yy',zz') est une facon de multiplier les triplets de réel qui est bien comutative, associative et distributive sur l'addition...

Merci de ta réponse, en effet j'avais oublié de préciser que le type de multiplication souhaité devrait respecter la multiplication des modules (pas le cas de ton exemple)

En fait je viens de penser à quelque choses :


Si on suppose qu'il existe une multiplication continu sur R^3 (associative, intègre et distributive sur +) telle que pour tous x,y |xy|=|x||y| ou || désigne la norme euclidienne. et telle pour t dans R t(xy)= (tx)(y) = (x)(ty).

alors si |x|=1, y->yx est une isométrie linéaire de R^3, c'est à dire un element O(3)

on à donc un morphisme de groupe de S(2) -> O(3)    (S(2) = la sphère de R^3) étant donné que cette application est continu, tous les elements de l'image ont le meme déterminant, et c'est forcement +1 (si on avait deux elements de  déterminant -1 leur produit serait de déterminant +1...) donc la multiplication par x est une isométrie directe et tu dois savoir prouver (en utilisant la réduction des endomorphisme) qu'une isométrie direct de R^3 admet toujour un point fixe sur la sphère (en d'autre terme : 1 est toujour valeur propre...) or c'est impossible car xy=y implique x=1.



donc ca fait une preuve pas trop longue , mais on est obliger de prendre de très fortes hypothèse, en pratique on sais que :

"Les seuls R algèbre à division de dimension finit sont R,C et H"

ca allège très fortement les hypothèse quand meme

NB : une algèbre à division est un corps non nécessairement commutatif