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nb complexes, donnant des matrices bizarres...
Bonjour à tous!
J'ai quelques (gros) problèmes avec mon devoir de maths, aussi fais-je appel à toutes les bonnes volontés qui accepteront de se pencher sur ledit problème...
Le devoir est assez long, j'ai traité toute la première partie dont je rappellerai les résultats quand nécessaire, là je bloque sur la 2e partie.
Dans l'ensemble du problème, on considère le 
-espace vectoriel n muni de sa base canonique (e1, e2,..., en).
Au terme de la 1ère partie, on a:
n le complexe défini par n=ei(2
/n)=cos(2/n)+isin(2/n)
Pour 
=(1, 2,...,n) appartenant à n, on considère le polynôme P, défini par:
P(X)=1+2X+...+nXn-1= 
k=0n-1k+1Xk.
On désigne alors par Fn l'application de n dans n définie par:
si =(1, 2,...,n), Fn()= (P(1), P(n),...,P(nn).
On a montré que Fn est un endomorphisme de n.
On considère maintenant le cas n=3.
1) expliciter les polynômes Pe1, Pe2, Pe3 (écrits tels quels dans l'énoncé: je ne comprend pas ce qu'ils représentent! Qu'est devenu le en indice? J'ai crû comprendre que cela donnait qqch du genre Pe1=e1, Pe2=e2X et Pe3=e3X² en appliquant la formule du début en considérant qu'on ne tenait pas compte des qui n'étaient pas mentionnés, mais je suis tout sauf sûre du résultat, surtout au vu de la suite...)
2) trouver la matrice M3, matrice de F3 dans la base canonique. (Là j'ai fait quelques tentatives avec mon pseudo résultat de la question précédente, mais je n'ai rien de concluant)
Voilà si quelqu'un pouvait m'aider, il me serait d'un grand service, et je remercie d'avance toutes les personnes qui se pencheront sur mes questions,
Nalla
Bonjour 
Il faut très certainement lire Pe1, Pe2, Pe3, ce qui donne
Pe1 = 1
Pe2 = X
Pe3 = X2
Cordialement
Frenicle
Par exemple, Pe1 n'est pas le polynome associé au vecteur canonique e1 ? Donc Pe1=1, Pe2=X et Pe3=x^2
eh... oui, mais dans la définition de P, j'ai un k+1, qui n'apparaît pas dans Pe1: qu'est il devenu?
Et en ce qui concerne la mystérieuse matrice, que serait-elle?
Merci beaucoup
Nalla
Quoique... on me demande ensuite (q°3) de montrer que M3² est diagonalisable, en sachant que je ne suis supposée calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de ladite matrice que dans la q°4... Et je ne vois donc pas comment faire!
Donc une fois de plus, si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne, il me serait d'une grande aide, et je remercie tous ceux qui me liront de l'attention qu'ils prêtent à mon problème...
Nota: entre temps, j'ai calculé M3², mais le fait que le résultat obtenu soit diagonalisable ne me saute pas aux yeux... pourriez vous me passer un coup de main?
Merci beaucoup
Euh... en fait j'ai pas ça: comment fais tu pour trouver M3?
En deux mots, voici comment je m'y suis prise:
Partant du principe que Pe1, Pe2 et Pe3 valent respectivement 1, X et X², j'applique ces formules à 1, 3 et 3², ce qui me donne F3(e1)=(1,1,1), F3(e2)=(1,3,-3) et F3(e3)= (1, -3, 3).
J'écris ma matrice, je l'élève au carré et y me reste des valeurs complexes... ???
rectif', pour M3² c'est bon, j'avais fait une bête erreur de calcul.
Donc M3² est bien diagonalisable.
Q°4, on me demande de trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres, chose faite, les valeurs propres sont 3 et -3.
Les problèmes recommencent q°5: on me demande d'en déduire que M3 admet 2 valeurs propres distinctes, l'une réelle et l'autre imaginaire pure, puis que M3 admet e2-e3 comme vecteur propre et un vecteur propre de la forme z'e1+z"(e2+e3), où z' et z" sont des complexes.
Or je ne vois pas ce qui permet de faire ces déductions: certes, j'ai pensé un temps à une propriété de mon cours une propriété disant que si 
est valeur propre de M, alors ² est valeur propre de M², mais je ne vois pas bien comment en tirer les déductions demandées.
Par ailleurs, les vecteurs propres sont vecteurs propres de M3², mais est ce suffisant pour dire qu'ils sont vecteurs propres de M3?
Voilà, je fais encore une fois appel aux bonnes volontés, et merci beaucoup à ceux qui se penchent sur mon problème et tout particulièrement à frenicle,
Nalla
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