Bonsoir,

Que dire du degré de  f(P) ?

Bonsoir,

F(P) correspond à la composée d'un polynome de degré n et d'un polynome de degré 1 donc il me semble que f(P) soit de degré n

non !

ah oui le terme de degré n se simplifie donc n-1 ?

Bonsoir

si tu travailles en dimension finie, une traduction matricielle simplifie les choses.
Sinon remarque que Im(f)n-2[x] etc ..

Bonsoir Kirasy

On sait que le noyau de f est formé des polynomes égaux à une constante donc dim(kerf)= 1 . le théorème du rang donne rg(f)=n donc pourquoi Im(f)n-2[x] ?

Bonsoir
Erreur de frappe, je rectifie, c'est Im(f)n-1[x] Im(f²)n-2[x] si ton polynome est de degré n

Ok
En passant par le matrice on voit bien que l'endomorphisme est nilpotent puisque la diagonale juste au dessus de la diagonale principale remonte à chaque fois que l'on fait le produit.
Merci de votre aide

Bonsoir BCPCSI,

Ton exercice est mal formulé car tu n'as pas donné l'ensemble départ de f.

Si l'ensemble départ est alors f n'est pas nilpotent.

En revanche si l'ensemble départ est , ensemble des polynômes de degré au plus n, alors f est nilpotent d'indice .

Bonjour jandri,

Je pensais que comme le polymone P_n[X] il était clair que l'ensemble de départ était ce meme ensemble. Dsl
Oui avec la mise sous forme matricielle on voit bien que f est nilpotente

Merci

La forme matricielle n'est pas nécessaire.

Tu as degré (f(P) =< n-1  donc  f°f(P)  est de degré  <= n-2 et par récurrence   f°...°f  (n fois ) est de degré négatif strictement donc c'est 0.

Attention, si P a pour degré n, f°...°f(P) (n fois ) n'est pas nul.
Il faut appliquer n+1 fois f pour obtenir 0.

oui c'est pour voir si tu suivais  lol