Bonjour,
Voilà mon exercice que je cherche depuis quelques jours
[l 1,n l] désigne, pas exemple, les entiers compris entre 1 et n ...

Soit F(n,p) l'ensemble des applications de [l 1,n l] dans [l 1,p l] et S(n,p) l'ensemble des surjections de [l 1,n l] dans [l 1,p l]. On pose s(n,p)=card(S(n,p)) et f(n,p)=card(F(n,p))
1 que vaut f(n,p) --- je trouve p^n
2 calculer s(n,0), s(n,n) et s(n,p) lorsque p>n --- j'ai réussi
3 montrer pour n>1, s(n,2)=2^n - 2 --- j'ai réussi

Maintenant je n'y arrive plus:
4 Montrer que le nombre d'applications g de [l 1,n l] dans [l 1,p l] telles que card(g[l 1,n l])=k est (k parmi p).s(n,k) ( on commencera par traiter le cas ou k>p ) pour k appartenant à N
5 En utilisant une partition de F(n,p), déduire la formule:
p^n = (Somme de k=0 à p)( (k parmi p).s(n,k) )
6 En déduire à l'aide de la formule d'inversion de Pascal que :
s(n,p) = (Somme de j=0 à p)( (-1)^(p-j) . (j parmi p) . j^n )


Merci de votre aide