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Nombres complexes

Posté par
glory-hell 07-09-09 à 16:23

Bonjour. Je suis bloqué dans un exercice et j'aurais besoin de votre aide.
z= exp((2ipi)/5) , u=z+z^4 , v=z²+z^3
Il faut calculer u+v , uv et déduire u et v.
Je suis cependant déja bloqué pour calculer u+v. Faut-il introduire cos(2ipi/5) et sin(2ipi/5) ? je ne vois pas comment faire...
Merci pour votre aide.

Posté par
olive_68re : Nombres complexes 07-09-09 à 16:46

Salut

3$u+v=\(e^{\fr{2\pi}{5}i}\)+\(e^{\fr{2\pi}{5}i}\)^2+\(e^{\fr{2\pi}{5}i}\)^3+\(e^{\fr{2\pi}{5}i}\)^4

Ca fait penser à une suite géométrique non ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmesre : Nombres complexes 07-09-09 à 16:47

Bonjour,

On remarque que z est une des racines cinquièmes de l'unité et il existe une propriété intéressante sur la somme des racines nièmes de l'unité.

Posté par
raymond Correcteurre : Nombres complexes 07-09-09 à 16:47

Bonjour.

Remarque que z = exp(\fra{2i\pi}{5}) est solution de l'équation Z5 = 1.

Donc, 1 + z + z² + z3 + z4 = 0

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 07-09-09 à 17:14

En considérant que c'est une suite géométrique j'obtiens
u + v = e(2i/5) = z
est ce correct? (ça ne me semble pas cohérent...)

Posté par
raymond Correcteurre : Nombres complexes 07-09-09 à 17:23

On doit trouver u + v = - 1

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 07-09-09 à 17:49

effectivement, merci (j'avais fais une erreur de calcul.)
Pour uv on trouve aussi -1.
Mais je ne vois pas comment déduire u et v ?

Posté par
olive_68re : Nombres complexes 07-09-09 à 17:51

Résoud la chose par substitution tu vas te retrouver avec un trinôme en u ou v selon le choix de départ

Posté par
raymond Correcteurre : Nombres complexes 07-09-09 à 18:04

Bonjour olive_68

On peut aussi utiliser la somme s et le produit p.

On sait qu'alors u et v sont solutions de l'équation X² - sX + p = 0

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 07-09-09 à 18:05

Merci, je vais essayer. Je reviens vous voir si je n'y arrive pas

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 08-09-09 à 18:50

Bonjour, Eh bien finalement je suis aussi bloquée à u+v
J'arrive à une somme
e(6i/5) + e(8i/5) + e(12i/5) + e(14i/5)
Je ne vois pas comment poursuivre... Pourriez vous une fois de plus, m'aider? s'il vous plait ?
Merci

Posté par
olive_68re : Nombres complexes 08-09-09 à 18:53

Plutôt uxv ?

Ben tu peux simplifier un peu les exposants nan ? \fr{9\pi}{4} radian vaut \fr{\pi}{4} radian, ben la simplifie tu devrais voir quelque chose apparaître

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 08-09-09 à 18:55

oui u x v pardon
pourquoi 9/4 ? tout est sur 5

Posté par
olive_68re : Nombres complexes 08-09-09 à 18:57

C'était un exemple, simplifie tes exposants

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 08-09-09 à 18:57

oups pardon je viens de comprendre en relisant

Posté par
esta-fettere : Nombres complexes 08-09-09 à 19:07

pour faire cet exercice, on peut aussi dire


1+z+z^2+z^3+z^4=0
on peut tracer l'étoile à 5 branches formée par ces 5 nombres......

remarquer que z+z^4=2cos ( \frac {2 \pi}5)

car c'est la somme de 2 complèxes conjugués de module 1 et z est d'argument \frac {2 \pi}5)
et z \times z^4 = 1

z^2+z^3=2cos ( \frac {4 \pi}5)

car c'est la somme de 2 complèxes conjugués de module 1 et z est d'argument \frac {4 \pi}5)
z^2 \times z^3 = 1

on pose u = cos ( \frac {2 \pi}5)
et  v = cos ( \frac {v \pi}5)

on a (z^2+uz+1)(z^2+vz+1)=1+z+z^2+z^3+z^4=0

en suite on identifie les coefficients des 2 polynomes et on trouve u et v......

ensuite c'est facile....

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 09-09-09 à 14:27

Bonjour olive_68

Citation :
C'était un exemple, simplifie tes exposants

En fait, lorsque mes exposants sont simplifiés je dois dire que cos(-2i/5) = cos(2i/5)
c'est ça (idem pour les sinus de 4i/5 et les cos) ?
ou n'ai je pas bien compris ?

Posté par
123DM Ultra Urgent svp 09-09-09 à 16:59

Soient z appartenant a C, a et b appartenant a U, avec a different de b , on pose :

                        u = (z+ab.z'-a-b)/(a-b)

avec z'= z barre


Je suis complétement bloqué après des lignes de calculs ultra long , merci de bien vouloir m'aider.

Posté par
raymond Correcteurre : Nombres complexes 09-09-09 à 19:02

Reprenons tranquillement.

Tu sais que u + v = - 1 et que uv = - 1.

Donc, u et v sont solutions de l'équation X² + X - 1 = 0

Cette équation a pour solutions : \fra{\sqrt 5-1}{2} ou \fra{-\sqrt 5-1}{2}

Maintenant, en remarquant que 1, z, z², z3, z4 sont les sommets d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, il est facile de constater que u est un réel positif.

D'où :

3$\textrm U = \fra{\sqrt 5-1}{2}

3$\textrm V = \fra{-\sqrt 5-1}{2}

Posté par
olive_68re : Nombres complexes 09-09-09 à 19:02

Salut à tous

123 Déja ton énoncé ne veut rien dire comme ça et en plus crée ton topic pour poser tes questions Tu pourrais te faire exclure pour ce genre de truc ..

Ben je vois pas ce que ça pourrait apporter de faire ce que tu dis en fait ^^, sauf que tu sais que 3$\fr{12i\pi}{5}=i\(2\pi+\fr{2\pi}{5}\)=i\fr{2\pi}{5}

Fait la même chose pour 3$\fr{14i\pi}{5} et tu vas voir quelque chose apparaître (Penses aux suites géométriques )

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 09-09-09 à 19:44

oui j'obtiens une somme : e-4i/5 + e.2i/5 + e2i/5 + e4i/5
Mais la suite géométrique je ne vois pas... a moins de prendre e-4i/5 comme premier terme ??

Posté par
olive_68re : Nombres complexes 09-09-09 à 19:49

Non non tu ferais mieux de laisse les 6pi et 8pi au dénominateur

Je te laisse réfléchir à partir de là puisque tu l'as déjà fait au moins une fois dans ta vie cette somme (où au moins vu une correction )

Posté par
glory-hellre : Nombres complexes 09-09-09 à 21:31

AH OUI !! Merci beaucoup
Je m'occupe de déduire u et v
Merci beaucoup pour vos explications

Posté par
raymond Correcteurre : Nombres complexes 09-09-09 à 23:04

On dirait que tu n'as pas lu mon message de 19:02

Posté par
lewis72re : Nombres complexes 10-09-09 à 18:48

Salut à tous !
J'ai cet exo à faire aussi, j'ai trouver u + v = 2cos(2/5) + 2cos(4/5). Suis-je dans une impasse, sachant que l'on doit trouver -1 ?
Concernant u.v, j'ai trouver u.v = e(2i/5) + e(4i/5) + e(6i/5) + e(8i/5), suis-je sur la bonne voie ?

Posté par
lewis72re : Nombres complexes 10-09-09 à 20:37

pardon pour la dernière ligne c'est :
u.v = e(2i/5) + e(4i/5) + e(6i/5) + e(8i/5)

Posté par
Junere : Nombres complexes 10-09-09 à 22:25

Pour uv, il suffit de remplacer z^3+z^4 par u+v-z-z², ça donne directement uv=-1 en simplifiants les exposants car ils s'annulent avec le z^6  et le z^7. Du coup, une fois que tu a u+v ça suffit quoi.
Et pour u+v faut vraiment faire avec le truc des suites géométriques (la formule de ce matin dans le cours =D) et tu vas voir, ça ira tout seul. J'ai fait comme ça et j'ai réussi nikel.

Posté par
lewis72re : Nombres complexes 10-09-09 à 22:41

Je ne vois pas pkoi tu dit : " Pour uv, il suffit de remplacer z^3+z^4 par u+v-z-z² "
En ce qui concerne la formule des suites je ne vois pas trop :S

Posté par
Junere : Nombres complexes 11-09-09 à 21:55

Alors en fait, pour u+v, tu as du remarquer que c'était une suite géométrique. Donc, il faut faire la formule de la somme d'une suite géométrique soit : (q-q^n+1)/(1-q). En remplacant q par la raison de la suite et en faisant le calcul, tout se simplifie et après, tu trouves le résultat qu'ils ont indiqué au dessus soit -1.
Pour uv, ce que je disais c'est qu'il faut remarquer que uv= u + v - ... et après ça tombe pile poil aussi.


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