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Nombres complexes et équations, la fin de la saga
Bonsoir!
Et voici le dernier volet de ma trilogie, où cette fois-ci je beugue assez rapidement
1) Soit l'application f définie sur 
par 
z
, f(z)=ez.
a) Résoudre dans l'équation ez=rei
.
J'ai a=ln(x) et b=
b) L'application f est-elle injective? Surjective?
Elle est injective mais je ne parviens pas à démontrer la surjectivité (je n'y parviens jamais. Et comme je n'ai pas trouvé de contre-exemple)
2) On désigne par U l'ensemble des nombres complexes de module 1.
Déterminer f-1(U).
C'est l'image directe ou c'est une bijection?
3) On considère les applications 
et 
définie sur par: z, et
Calculer pour tout z de (z)²+(z)²
4)a)Montrer que l'équation (z)=u où u est un nombre complexe fixé admet des solutions dans
b)L'application est-elle injective? Surjective?
5)a)Démontrer que (z)+(z)=
2 (z- 
/4)
b) Résoudre dans (z)+(z)=-2
Merci d'avance
a) Résoudre dans l'équation exp(z) = r.exp(it).
Pour tout (r,t)
+*
L'ensemble Kr,t des(x,y)2 qui vérifient
exp(x+iy) = r.exp(it) est {ln(r)}(t+2
)
On voit donc que f est surjective mais non injective (f(2i) = {1}
2) On désigne par U l'ensemble des nombres complexes de module 1.Déterminer f-1(U).
C'est l'image directe ou c'est une bijection? (puisque f n'est pas bijective f-1(.) désigne l'image réciproque de(.) par f)
Il est facile de voir que f-1(U) = U (Si z est dans U il existe t réel tel que z = exp(it) et donc f(z) = z)
3.Il n'y a qu'à pousser les calculs.On trouve (exp(2iz)+exp(-2iz))/2
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