Zormuche @ 04-02-2024 à 15:40
Oui c'est ça, si le reste est nul cela signifie que k0 divise l
Merci pour votre patience haha!
Entre temps j'ai avancé sur les questions suivantes
3a)
Première partie:
Puisque p est un diviseur de F
n et que F
n est de la forme 2
2^n +1, F
n est impair.
si p était pair cela signifierait que p divise F
n et 2
2^n +1, ce qui est impossible puisque 2
2^n +1 est impair.
Deuxième partie:
Puisque p est un diviseur de F
n cela signifie que 2
2^n+1≡0[p]
donc 2
2^n≡-1[p]
En multipliant cette congruence par 2 on obtient:
2
2^n+1≡-2[p]
Or on a déjà établit que 2
2^n ≡-1[p], on peut donc substituer cette valeur dans l'équation précédente:
(-1)*(2)≡-2[p]
ce qui en simplifiant donne : 2
2^n+1≡1[p]
3b) En utilisant le résultat à la question 2) on peut dire que k
0 est le plus petit entier naturel tel que 2
k0 ≡1[p] , et on a aussi trouvé que 2
2^n+1≡ 1[p]
Donc, on peut en conclure que 2
2^n+1 est le plus petit entier k tel que 2
k≡1[p]
3c) Le petit théorème de Fermat nous dit: si p un nombre premier et a un entier premier avec p, alors a
p-1≡1[p]
Dans notre cas, on a montré que 2
2^n ≡-1[p], donc 2
2^n est premier avec p.
En appliquant le théorème : (2
2^n)
p-1≡1[p
En simplifiant: 2
2^n*(p-1)≡1[p]
Puisque 2
2^n≡-1[p], on peut remplacer cette valeur dans l'équation: -1
p-1≡1[p]
Comme -1
p-1 est égal à 1 si p-1 est pair, on peut en conclure que 2
p-1≡1[p]
Est-ce que je suis sur la bonne voie ?
Merci d'avance !