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Nombres réels, égalité à démontrer

Posté par
Arcadium 28-06-09 à 19:22

Bonjour à tous !

Ayant fraichement quitté mes études de médecine et voulant me réorienter, je planche sur quelques exercices de niveau L1.

Bon, à l'heure d'aujourd'hui je suis un peu rouillé en maths donc je patauge quand même pas mal, alors j'aurais besoin d'aide. Ca doit pas trop dépasser le niveau lycée mais bon, qui peut le plus peut le moins

Voici l'énoncé :

On considère trois réels x, y et z qui vérifient x + y + z = 0. Montrer l'égalité :

x6 +y6 +z6 = 3x2 y2 z2 - 2(xy + yz +zx)3

Bon, j'ai essayé de développer tout ça, mais je me noie de plus en plus ...

Merci d'avance à ceux qui m'aideront

Posté par
gui_toure : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 20:08

Salut

Développe tranquillement (xy+yz+zx)² et essaie de faire apparaître x+y+z.

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 21:05

C'est au cube, pas au carré :/ Je remplace (xy+yz+zx)^3 par (xy+yz+zx)²(xy+yz+zx) ?

Posté par
gui_toure : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 21:13

Oui développpe d'abord le carré, puis le tout.

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 21:31

(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xy^2z+2x^2yz+2xyz^2 \\

Euh ... ?

Posté par
gui_toure : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 21:42

dans les 3 derniers termes, mets voir xyz en facteur

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:02

Ah oui  !

Ca fait :

(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)

or x+y+z = 0

donc (xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2

d'où (xy+yz+zx)^3 = x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3 + x^2y^3z + x^3y^2z + xy^3z^2+xy^2z^3 + x^3yz^2 + x^2yz^3

Et là je bloque à nouveau

Posté par
gui_toure : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:10

Effectivement c'est pas joli joli

Suggestion : remplace y par -x-z, et courage pour les calculs !

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:11

>_<

C'est pour rire ?

Elle est où la caméra cachée ?

Posté par
gui_toure : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:17

Ba désolé, mais là je vois pas d'astuce génialissime.... je réfléchis un peu!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:25

Bonsoir ;

je crois que c'est bien parti gui_tou

tu obtiens tout de même : 4$\fbox{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=(xy+yz+zx)^3+3x^2y^2z^2} sauf erreur bien entendu

Posté par
gui_toure : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:27

Salut Elhor !

Tu tombes à pic

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:32

je crois qu'il suffit maintenant d'écrire :

4$\fbox{x^6+y^6+z^6=(x^3)^2+(y^3)^2+(z^3)^2=(x^3+y^3+z^3)^2-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)}

en remarquant que 4$\fbox{x^3+y^3+z^3=x^3+y^3-(x+y)^3=-3x^2y-3xy^2=3xyz}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:34

Et donc :

4$\fbox{x^6+y^6+z^6=9x^2y^2z^2-2[(xy+yz+zx)^3+3x^2y^2z^2]}

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:38

Vous m'avez perdu en route

En fait, que dois-je faire après

(xy+yz+zx)^3%20=%20x^3y^3%20+%20y^3z^3%20+%20z^3x^3%20+%20x^2y^3z%20+%20x^3y^2z%20+%20xy^3z^2+xy^2z^3%20+%20x^3yz^2%20+%20x^2yz^3

pour obtenir

x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=(xy+yz+zx)^3+3x^2y^2z^2

?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:45

oui !

tu écris par exemple 4$\fbox{x^2y^3z+x^3y^2z=x^2y^2z(x+y)=-x^2y^2z^2

et tu fais la même chose pour les 4 termes restants

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:54

Je trouve (xy+yz+zx)^3%20=%20x^3y^3%20+%20y^3z^3%20+%20z^3x^3 - 3 x^2y^2z^2

car %20x^2y^3z%20+%20x^3y^2z%20 = -x^2y^2z^2

%20xy^3z^2+xy^2z^3%20 = -x^2y^2z^2

et %20x^3yz^2%20+%20x^2yz^3 = -x^2y^2z^2

Il y a apparemment un problème de signe, et je ne vois pas où ??

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 22:57

Ah non, au temps pour moi, c'est normal.

Bon la suite par contre, je suis bien perdu (désolé )

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres réels, égalité à démontrer 28-06-09 à 23:48

Je crois que la question est maintenant réglée

et ce grâce à la bonne idée de départ de gui_tou que je salue

Arcadium >> y'a t il d'autres questions dans l'exercice ou est ce une question isolée ?

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 00:45

Ben, j'ai du mal à comprendre cette ligne :

4$\fbox{x^6+y^6+z^6=(x^3)^2+(y^3)^2+(z^3)^2=(x^3+y^3+z^3)^2-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)}

En tout cas merci pour tout !

Posté par
olive_68re : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 00:55

Salut Arcadium

Comme ça ça paraît un peu compliqué mais tu comprendras mieux la ligne de calcul en la lisant à l'envers

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:02

Hum, je ne vois vraiment pas ce qu'il se produit au niveau du deuxième signe "égal", dans un sens comme dans l'autre c'est mystérieux pour moi :/

Posté par
olive_68re : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:16

Ben 3$\red \fbox{(a^b)^c=a^{b\times c}}

Donc plus particulièrment 3$\blue a^6=(a^3)^2

D'où 3$\fbox{x^6+y^6+z^6=(x^3)^2+(y^3)^2+(z^3)^2}

Ensuite, 3$(x^3+y^3+z^3)^2-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)=(x^3+y^3+z^3)\times (x^3+y^3+z^3)-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \; \; \; \; \; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^6+x^3y^3+x^3z^3+x^3y^3+y^6+y^3z^3+z^3x^3+z^3y^3+z^6-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \; \; \; \; \; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^6+y^6+z^6+2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \; \; \; \; \; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\fbox{x^6+y^6+z^6}

Plus claire ?

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:26

Je ne comprends pas comment on peut en venir à trouver ça, en fait, puisque l'on part de x^6+y^6+z^6.

Comment avez-vous trouvé 3$(x^3+y^3+z^3)^2-2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3), c'est ça qui me chiffonne, je ne vois pas d'où il sort ?

Posté par
olive_68re : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:26


                

  Et bienvenu(e) sur l'île   

                   

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:28

Merci

Posté par
olive_68re : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:31

Ben je sais pas vraiment comment te l'expliquer .. c'est juste que eux sont deux personnes très fortes en maths (gui_tou et elhor_abdelali) donc en voyant la forme finale de l'égalité ils ont directement vu comment transformer l'ecriture initiale ..

C'est comme si on demandait de montrer l'égalité :

3$\blue \fbox{a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}

Ca peut ne pas paraître intuitif à tout le monde ..C'est juste un jeu d'écriture

Posté par
Arcadiumre : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:35

C'est bien ce que je craignais

Eh bien, peut être qu'un jour je bénéficierai de la même dextérité

En attendant merci beaucoup à vous trois

Posté par
olive_68re : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 01:40

^^ Tu verras avec un peu d'entrainement ça vient vite même moi voyait où on voulait en venir donc c'est pour te dire...

(Mais certains de leurs post sont impréssionnant ^^ Tu comprends rien à ce qu'ils disent et pourtant c'est toujours juste ^^)

Allez, de rien pour ma part.. et à bientôt

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 10:03

On peut aussi remarquer que x , y et z sont solutions de l'équation en t\;:\; 4$\fbox{(t-x)(t-y)(t-z)=0}

qui s'écrit aussi 4$\fbox{t^3+pt+q=0\\p=xy+yz+zx\;,\;q=-xyz} vu que 4$\red\fbox{x+y+z=0}

et donc que 4$\fbox{x^3=-px-q\\y^3=-py-q\\z^3=-pz-q}

d'où 4$\blue\fbox{x^6+y^6+z^6=(px+q)^2+(py+q)^2+(pz+q)^2=p^2(x^2+y^2+z^2)+3q^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=p^2[(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)]+3q^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=3q^2-2p^3}

Posté par
olive_68re : Nombres réels, égalité à démontrer 29-06-09 à 12:41

Tout pour l'embrouiller encore un peu plus ^^ Mais bien vu


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