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Noyaux

Posté par
nico742 15-09-09 à 16:25

Salut j'ai un petit soucis sur l'exo que voici:

E un K espace vectoriel de dimension finie n supérieur ou égal à 1, et f un endomorphisme fixé de E.Pour tout k entier naturel, Nk=Ker(fk)  ,nk = DimNk) et Ik=Im(fk) .

On me demande de montrer que l'ensemble {k entier naturel allant de 0 à n | Nk=Nk+1} n'est pas vide.
Je sais pas trop ou chercher?Trouver une fonction vérifiant cela en tatonnant?
La fonction teta nulle serait elle valable?

Je cherche également la réponse pour la question juste suivante,
On note p le minimum de l'ensemble de la question précédente.
Montrer que pour tout k entier naturel, kp Nk=Np
Je n'ai pas encore "tout" éssayé sur cette question, je pense à la récurrence?

Merci d'avance pour l'aide !

Posté par
Camélia Correcteurre : Noyaux 15-09-09 à 16:29

Bonjour

Commence par montrer que N_k\subset N_{k+1}. L'espace étant de dimension finie, la suite n_k ne peut pas être strictement croissante!

Pour la deuxième question, bien sur que c'est par récurrence!

Posté par
raymond Correcteurre : Noyaux 15-09-09 à 16:32

Bonjour.

Tu dois savoir que la suite (Nk) des noyaux itérés est croissante pour l'inclusion :

Pour tout k, Nk Nk+1

Que peux-tu en déduire pour la suite (nk) ?

Posté par
raymond Correcteurre : Noyaux 15-09-09 à 16:33

Trop lent le vieux Raymond.

Posté par
Camélia Correcteurre : Noyaux 15-09-09 à 16:34

Mais non, je guettais les arrivées... (et je suis plus vieille que toi!)

Posté par
raymond Correcteurre : Noyaux 15-09-09 à 16:39

Ta diplomatie est un vrai régal.

Posté par
nico742re : Noyaux 15-09-09 à 17:52

Merci à vous.
En découle une dernière question :
En déduire k, k < p IkIk+1 et kp Ik=Ip

Je coince, j'avais pensé à la récurrence encore mais je pense que je me trompe puisque je n'abouti pas...

Posté par
raymond Correcteurre : Noyaux 15-09-09 à 18:03

As-tu réussi pour les noyaux ?

Das ce cas, pour les images, remarque simplement que dim(Ik) = dim(E) - dim(Nk)


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