Petites précisions : A et B 2 operateurs auto adjoints positifs, (A>=B) ssi (A-B) >=0 c'est a dire :

(<(A-B)x/x>) >=0 (<./.> le produit scalaire associé a H)

Bonjour,

cela me paraît faux.
En effet, équivaut à

Or, f est diagonalisable en base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles.Si est un vecteur d'une telle base orthonormée et si est la valeur propre réelle associée, on devrait donc avoir , ce qui s'écrit

Or il n'y a aucune raison pour qu'un opérateur auto-adjoint strictement positif ait toutes ses valeurs propres inférieures à 1.
Contre-exemple trivial: est un opérateur auto-adjoint du Hilbert dans lui-même, pourtant son unique valeur propre est 2 > 1.

Ce "théorème" me semble donc bien faux!
Est-ce moi qui me trompe, toi qui as mal interprété l'énoncé, ou le livre qui est à remettre en cause?

Bonjour !
Avant tout merci pour ta reponse.Tu as certainement raison meme si je ne vois pas pourquoi f est diagonalisable en base orthonormé (j'ai pas du assez travailler mon premier semestre !)

Je pense que l'auteur a oublié une condition :                          

En effet, f<=I equivaut a <f(x)/x> <= ||x||²  (1)
Or par l'inegalité de Cauchy-S , <f(x)/x> <= ||f||.||x||²
Donc si ||f||<=1 la condition (1) est remplie.
D'autre part il me semble que le spectre d'un operateur auto adjoint est inclus dans l'intervalle [-||f||,||f||]  (si ma memoire est bonne !)
Donc les conditions que tu as ennoncées seraient valable si la normme de l'operateur etait borné par 1 !

Conclusion : Je pense que le bouquin a peut etre oublier cette condition dans l'ennoncé.
A ce moment le theoreme serait : "tout operateur hermitien strictement positif de norme inférieur ou egale a 1 est strictement inférieur à l'operateur identité"
(Ceci est donc entre autre vrai pour les projecteurs)

Je t'en prie.

Lethéorème à connaître sur les opérateurs auto-adjoints est justement qu'ils sont diagonalisables en base orthonormée, et que leurs valeurs propres sont toutes réelles.

Maintenant tout ce que tu dis ensuite est vrai, et effectivement si ||f|| < 1 alors on a trivialement le résultat attendu par Cauchy-Schwarz.
Je reste quand même sceptique sur l'énoncé tel qu'il est proposé.

Pourtant sa m'embete car mon but final est de comprendre la demo d'un theoreme qui dit que tout operateurs auto adjoint admet une unique racine carré sans avoir de conditions sur sa norme ..

Oui j'ai déjà vu ça quelque part, mais je ne me souviens plus trop comment procéder.
Je dois y aller, mais essaie encore de voir dans ton livre s'il n'y a pas une précision qui t'aurait échappé dans le paragraphe.A bientôt!

Sa marche merci a bientot !