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Ordre d'un élément
Bonjour,
Mon cours porte sur l'anneau Z/nZ
Pourriez-vous m'expliquer la notion d'ordre ? (Pour l'instant, c'est le cardinal d'un ensemble pour moi)
Je ne comprends pas la démonstration de cette proposition :
Soit x un élément de G d'ordre m. (Là, c'est bien l'ordre de x qui est égal à m ?)
Soit k un entier tel que xk=e, alors m divise k
Là, je ne comprends pas très bien... x d'ordre m, donc le cardinal de l'ensemble engendré par x sera forcément divisible par l'ordre de x, càd le plus petit k tel que xk=e ... (c'est bien ça ou pas ? l'ordre !?)
Pour tout entier, l'ordre de xk= m/d avec d=pgcd(m,k)
Merci par avance pour vos explications
Dcamd
Bonjour,
L'ordre d'un goupe c'est son cardinal, j'ignore les raisons d'une telle terminologie...c'est comme ça faut s'y faire.
L'ordre d'un element c'est l'ordre du sous groupe qu'il engendre.
C'est aussi le plus petit entier (non nul) m tel que x^m=1.
Donc si x^k=1 alors l'ordre de x noté disons m divise k... il suffit d'ecrire la div eulclidienne de k par m.
Rebonjour
Dans un groupe multiplicatif, l'ordre de x est le plus petit élément m strictement positif tel que . Alors soit k tel que
. Division euclidienne: k=qm+r avec
. On a donc
Oui, mais m est le plus petit strictement positif tel que et la seule possibilité pour r est r=0. Donc m divise k.
Merci Rodrigo, Et pour la formule de l'ordre, comment fait-on, parce que la je ne comprends pas du tout !
Tu cherches l'ordre de k dans le groupe Z/mZ, c'est le plus petit entier j tel que m|jk, donc jk est le ppcm de k et m. donc j=ppcm(m,k)/k et ppcm(m,k)=mk/pgcd(m,k)
Ah d'accord, Merci.
Pourquoi se place-t-on dans Z/mZ et pourquoi faut-il que m|jk. Je ne comprends par très bien les conditions dans lequelles on se place...
Ben le groupe engendré par x est cyclique d'ordre m...donc isomorphe a Z/mZ autant faire le truc dans Z/mZ...mais de toute façon travailler dans Z/mZ ca correspond juste a travailler avec les exposants...
Et l'ordre de k dans Z/mZ c'est le plus petit entier j tel que jk=0. donc m|jk.
Si tu veux c'est le plus petit entier j tel que x^{jk}=1 donc m|jk c'est exactement le meme argument.
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