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ordre de SL(3,3)
Bonjour,
J'avoue que j'ai un petit problème pour déterminer le nombre d'éléments du groupe
i.e. les matrices à coefficients dans de déterminant
.
Je pensais utiliser des relations pour le déterminant du type
mais c'est sans succès... Si quelqu'un à une indication à me donner ou un truc du genre déjà pour avoir un point de départ solide j'en serai plus qu'heureux.
Merci d'avance,
Surb
Malheureusement pas... Et je dois dire que j'y ai déjà réfléchi, en effet en trouvant des générateurs (pour la multiplication) de Gl(3,F_3), il ne me reste plus qu'a voir ceux qui sont de déterminant 1 et de multiplier les ordres de ces derniers pour trouver le cardinal de SL(3,F_3) non?
Bonjour,
Après quelques recherches j'ai trouvé et compris la chose suivante:
En effet on peut dénombrer les éléments M de Gl(3,F_3) comme suit:
Comme card(F_3) = 3, on a card((F_3)^3) = 3^3. Ainsi:
- La première colonne de M peut être n'importe quel vecteur de (F_3)^3 sauf le vecteur nul. -> 3^3 - 1 = 26 possibilités.
- La deuxième colonne ne doit pas être combinaison linéaire de la première et on a que trois possibilité de combinaison différentes. -> 3^3 - 3 = 24 possibilités.
- La troisième colonne ne doit pas être combinaison linéaire de la première et de la deuxième colonne. -> 3^3 - 3*3 = 18 possibilités.
Ainsi card(GL(3,F_3)) = 26*24*18 = 11232.
Maintenant comme chaque matrice de GL(3,F_3) à un déterminant égal à 1 ou 2. Je voudrais montrer que que card(SL(3,F_3)) = card(GL(3,F_3))/2.
Pour cela je considère C_i l'ensemble des matrices de déterminant i dans GL(3,F_3) pour i=1,2. Soit maintenant
F: C_1 -> C_2: M -> (2I)*M
avec 2I= I+I la matrice identité avec des 2 à la place des 1.
Alors il est claire que det(F(M)) = det(2I)*det(M) = 2*1 = 2, i.e. F est bien définie.
De plus on a F(F(M)) = (2I)*(2I)*M = (4I)*M = I*M = M et donc F est son propre inverse (en particulier F est inversible). D'où F est une bijection. Et comme C_1 U C_2 = GL(3,F_3), C_1, C_2 sont disjoints et C_1 = SL(3,F_3) on a bien le résultat cherché.
Est-ce bien correcte?
Bonjour
Pour Gl3 OK
Ensuite c'est évident: Det est un morphisme surjectif de GL3 dans le groupe multiplicatif de F3 et SL3 en est le noyau...
Merci pour la confirmation. Par contre j'ai pas tout à fait compris:
Ensuite c'est évident: Det est un morphisme surjectif de GL3 dans le groupe multiplicatif de F3 et SL3 en est le noyau...
(désolé mais je suis vraiment NUL en algèbre...)
Bref
Det:GL(3,F_3) -> F_3
n'est pas surjectif non? en effet M est dans GL(3,F_3) si et seulement si det(M) =/= 0, donc je vois pas la surjectivité....
Pour le coup ton probleme ne vient pas d'algèbre mais de lecture! Camelia a écrit dans le groupe multiplicatif de F_3! 
, oups... ok maintenant j'ai plus ou moins compris 
. Merci beaucoup Camelia et Marmelade.
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