BONJOUR, J'AI UN EXERCICE SUR LEQUEL J'AI REFLECHI JE souhaiterais avoir VOS AVIS!

SOIT (G,.) un groupe et g à G

il faut que je montre que

ordre(g^-1)= ordre(g)

alors voici mon raisonnement,
posons m,n ou ordre(g) = m et ordre(g^-1)=n, avec g^m = (g^-1)ⁿ.
ou g^m = e et (g^-1)ⁿ= e,

montrons que m = n

on a g^m = (g^-1)ⁿ.
multiplions a gauche par (g^-1)ⁿ.
(gⁿ).g^m = gⁿ. (g^-1)ⁿ = e, puisque g^m = e on doit avoir que gⁿ = e ce qui signifie que m divise n.

multiplions à droite par g^m
g^m.(g^-1)ⁿ=
gⁿ.(g^-1)ⁿ
= e, puisque gⁿ =e on doit avoir que g^m = e ce qui signifie que n divise m.

Ainsi si m/n et n/m on a que m = n et donc ordre(g^-1) = ordre(g).