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Ordre partiel

Posté par
Surb 27-09-11 à 18:56

Bonjour,
Voici le petit problème sur lequel je planche depuis un (long) moment... et j'espère que quelqu'un pourras m'aider.

On considère un ordre partiel \preceq sur \mathbb{Z}^4_+ donné par
(a_1,a_1,a_3,a_4)\preceq (b_1,b_2,b_3,b_4) \iff \sum_{i=i_0}^4a_i \leq \sum_{i=i_0}^4 b_i, \forall i_0=1,2,3,4
On dira que (a_1,a_1,a_3,a_4)\prec (b_1,b_2,b_3,b_4) si (a_1,a_1,a_3,a_4)\preceq (b_1,b_2,b_3,b_4) mais pas (b_1,b_2,b_3,b_4)\preceq (a_1,a_1,a_3,a_4) .

Il s'agit maintenant de montrer qu'on a A=(a_1,a_1,a_3,a_4)\prec B=(b_1,b_2,b_3,b_4) si et seulement si aa_1+ba_2+ca_3+da_4 <ab_1+bb_2+cb_3+db_4 pour tout a,b,c,d \in \mathbb{R} avec 0<a<b<c<d.

En utilisant l'identité
an_1+bn_2+cn_3+dn_4 = (d-c)n_4+(c-b)(n_4+n_3)+(b-a)(n_4+n_3+n_2)+a(n_4+n_3+n_2+n_1)
On montre facilement que A\prec B implique aa_1+ba_2+ca_3+da_4 <ab_1+bb_2+cb_3+db_4 pour tout 0<a<b<c<d
Par contre si on suppose aa_1+ba_2+ca_3+da_4 <ab_1+bb_2+cb_3+db_4 pour tout 0<a<b<c<d j'avoue avoir énormément de peine à montrer que A\prec B.

Un grand merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider.

Posté par
carpediemre : Ordre partiel 27-09-11 à 19:34

salut

aa1 + ... da4 < ab1 + ... + db4 <==>

(d-c)(b4-a4) (c-b)(b4+b3-a4-a3 + .... > 0

maintenant sachant que d-c>0, c-b>0, .... que peux-tu en conclure ?

Posté par
carpediemre : Ordre partiel 27-09-11 à 19:37

il manque un + avant (c-b)...

Posté par
Surbre : Ordre partiel 27-09-11 à 19:53

Salut,
J'en conclue que si s_{i_0} \coloneqq \sum_{i=i_0}^4 b_i-a_i alors s_{i_0} \geq 0 pour tout i_0 = 1,2,3,4 et qu'il existe au moins un des s_{i_0} qui est non nul. Et j'allais dire: mais comment fait-on pour montrer que les autres sont non-nuls (grosse erreur!! qui m'a bloqué un bon moment ) En effet par la définition de \prec (\neq \preceq) il suffit qu'une des inégalités soit strictes.
Merci beaucoup Carpediem

Posté par
carpediemre : Ordre partiel 27-09-11 à 20:00

de rien


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