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Où est l'erreur ?
Bonjour,
J'ai le résultat suivant à démontrer, j'ai trouvé 2 démonstrations mais l'une aboutit à une contradiction...
Soit , montrer l'existence et l'unicité de
tel que
et
.
Démo n°1 :
est le polynôme caractéristique de sa matrice compagnon
, soit
le polynôme minimal de
, on sait que
(par Cayley-Hamilton) et
.
Démo n°2 :
se décompose en produit de polynôme irréductibles
,
convient (on prend pour r le ppcm des ordre de multiplicité).
Dans la suite on prend pour le polynôme caractéristique de
donnée, et
dont on vient de montrer l'existence. Et on pose
puis on raisonne modulo
. Mon problème est que dans ma démo n°1
...
Merci 
Bonjour
Il y a un problème dans la définition de r... L'énoncé devrait être montrer qu'il existe r minimal? unique? et P unique tel que... Spontanément, j'aurais pris la démo 2, dans 1) tu as pris r=n... Mais même dans 2) s'il n'y a que des racines simples, tu as P(A)=0. Est-ce un inconvénient? Enfin, tu as mis un corps K quelconque donc il n'y a pas de raison que ça se décompose!
En fait, plus je regarde et moins je comprends ce que l'on cherche...
Bonjour Camélia
Quelques précisions de l'énoncé :
- est un sous-corps de
- Tout polynôme de s'écrit de manière unique comme produit de polynômes irréductibles de
- A la place de il est écrit qu'il divise une puissance de P.
Ah, bon... donc a priori il n'y a pas de matrices!
Toujours est-il que je ne comprends pas l'unicité!
Si je prends , Q lui-même convient, mais aussi (X-1)(X-2),
et une floppée d'autres!
Si et si
avec
on a bien
et
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