Bonjour

Tu as donc 3 2-Sylow. Soit a dans G. La conjugaison par a envoie un 2-Sylow sur un 2-Sylow, donc elle définit une permutation de l'ensemble à 3 éléments formé par ces groupes. C'est facile de voir que c'est un morphisme et comme ils ne sont pas distingués, il existe a tel que ne soit pas l'identité. Le noyau de ce morphisme est un vrai sous-groupe distingué de G.

(Je ne vois pas pourquoi 2^{r+2})

Merci Camélia pour ces éléments de réponse...ça parait si simple maintenant.

Pour le 2^{r+2} c'est normal que tu ne vois pas, puisque l'exercice est sorti de son contexte, c'est un long problème où l'on cherche à montrer que si G (de cardinal 12.p^r ) est simple alors p= 5 et r=1, je suis dans le cas particulier où p=2... mais je bloque déjà à la deuxième question, ce n'est pas rassurant ^^

Merci en tout cas!

(C'est une astuce bonne à retenir, la conjugaison permute les sous-groupes de même ordre, donc on peut se servir des propriétés des groupes de permutations)