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Parité d'un polynôme
Ola les mathématiciens !
Bon j'ai un petit dm pour la semaine prochaine et il me turlupine un peu car il porte sur les EV de dimension finie mais notre prof a rapproché ca en nous faisant travailler cette notion avec les Polynômes (chapitre non vu en cours) ! Donc j'ai quelques petites questions !
Voila mon ptit polynome :
On considère une suite de polynömes définie par :
P0=1
P1=-X
Pour tout n € N : Pn+2=-X*Pn+1 -Pn
J'ai trouvé le Degré
J'ai trouvé le coeff dominant
et la voila la question qui me sidere :
Etudié la parité de Pn
Qu'entends t'on par parité d'un Polynome ? La parité du terme de plus haut degré ?
Merci d'avance de vos réponse et de votre aide car la je bloque un peu !
ALlez je passe a la suite !
BOnne soirée a tous et bonne semaine
Salut TeddyPicker
la parité c'est dire si le polynôme (ou plutôt sa fonction polynomiale assoicée mais ne chipotons pas) est pair ou impair 
Ici, il y a fort à parier que la parité de Pn est celle de n 
Oui j'ai calculé les 5 premiers termes et on s'en rend bien compte mais comment le montrer ?
Une petite récurrence ?
J'ai bien essayé mais je sais pas quoi mettre dans ma proprieté Pk a démontrer sans que ma prof de maths m'égorge apres la correction 
!
Une petite formulation jolie a me soumettre ?*
Merci en tout cas Gui_tou !
Bonjour,
le résultat est immédiat par récurrence forte, encore faut-il écrire précisément les choses.
Tu dois appeler (Hn) l'assertion: Pour tout entier k < = n, P_k est une fonction de même parité que l'entier k
(au passage, un polynôme pair, c'est un polynôme tel que la fonction associée soit paire, pas seulement le terme de plus haut degré!)
Tu as deux initialisations à faire pour n = 0 et n = 1.
Enfin pour l'hérédité, tu dois distinguer le cas où n est pair du cas où n est impair.
A toi!
Je trinque avec toi alors au succes de ma récurrence mais pas trop quand même car j'ai fait que 18 questions sur 49 de mon DM ahahah !!
Aie aie aie j'ai un gros soucis !
J'ai pas encore vu les récurrences fortes alors j'ai googlé un peu regardé quelques exemples
J'ai bien compris que nos hypotheses étaient basé sur des intervalles et non plus des n fixés
j'ai donc commencé comme suivant :
Hn : Pour k<= n Pk est une fonction de meme parité que l'entier k
Initialisation : P0=1 qui est bien paire
P1=-X qui est bien impaire
Heredité : On suppose que pour k<=n Pk est une fonciton de même parité que l'entier k
Montrons que pour k+1<=n Pk+1 est de meme parité que l'entier k+1
(la je suis pas sur c'est bien ca ?)
Et apres je bloque car je sais pas trop de quoi partir en fait c'est bizarre !
Merci de votre aide ultime apres j'arrete de vous embeter promis !
Teddy, tu dis :
Montrons que pour k+1<=n Pk+1 est de meme parité que l'entier k+1
Non c'est pas ça. En fait y a pas à se casser la tête : on formule notre hypothèse de récurrence pour le rang n, comme le dit Greg :
Tu dois appeler (Hn) l'assertion: Pour tout entier k < = n, P_k est une fonction de même parité que l'entier k
Donc tu dois montrer (Hn+1) qui s'écrit : "Pour tout entier k < = n+1, Pk est une fonction de même parité que l'entier k"
On suppose (Hn) donc on a juste montrer que Pn+1 est de même parité que n+1 (puisque (Hn) assure que c'est vrai pour k <= n)
Là, tu utilises la définition de Pn+1 :
Et tout roule !
Merci guy_tou !
Je pense que j'ai compris le principe de fonctionneemnt de la raisonnement par récurrence forte enfin au moins les bases mais je bloque un peu dans la réalisation apres !
Dans la derneire étape j'ai dissocié deux cas
n pair : Pn+1 = -XPn - Pn-1[sub]
On a ici Pn qui est pair et P[sub]n-1 qui est impaire ! Mais le fait de multiplier par -X ne change rien sauf si on dit que -X=P1 est impaire et impaire * pair = impaire mais il faudrait le démontrer non ?
A moins qu'il y est quelquechose que j'ai pas saisi ...
Bien expliqué Guillaume! 
TeddyPicker ->
Mais le fait de multiplier par -X ne change rien
Si, car le produit d'une fonction impaire (ici -X) et d'une fonction paire (ici Pn) est impaire!
Donc lorsque n est pair, -X.Pn et P(n-1) sont impaires par (H.R.), donc leur somme l'est aussi et c'est réglé!
Traitement analogue en supposant n impair.
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