Bonsoir J-R

Je ne comprends pas ton raisonnement : A ne possède pas de structure particulière, alors pourquoi parler d'isomorphisme de A dans .

Ceci dit, personnellement, je vois une solution relativement simple qui n'utilise pas du tout la théorie des groupes. Considère l'ensemble .

Montre que I n'est pas inclus dans le sous-groupe de engendré par A.

Kaiser

Une solution qui me paraît élégante: note D le PPCM des dénominateurs des (xi) [ou leur produit, c'est pareil]

Alors D*<(xi)> = <(D*xi)> [rappel: <A> désigne le groupe engendré par A]

Or <(D*xi)> est dans Z.
Si on avait <(xi)> = Q, alors on aurait D<(xi)> = DQ = Q, c'est à dire Q inclu dans Z. Absurde.


NB: je suppose qu'on a pris le groupe (Z,+)?

J'imagine que tu parle de partie génératrice en tant qu'anneau ou que groupe ? (la solution de Ulusse marche seulement si on est dans les groupes...)

et dans les deux cas ta solution est fausse : si Q etait engendré par A, on pourait avoir une application bijective de A dans Z/nZ, qui s'etend en une application f' de Q dans Z/nZ, mais ce n'est pas parceque f est bijective que f' l'est aussi.

Je n'ai jamais entendu parler d'anneau engendré par une famille. Serait-ce l'ensemble des
P(x1,...xn) pour P parcourant Z[X1,...,Xn] ? Ca me paraîtrait correct. Mais alors le résultat me paraît autrement plus difficile.

En fait, ce n'est pas plus difficile.
Dans les deux cas (groupe ou anneau), l'ensemble que j'ai mentionné plus haut ne peut pas être inclus entièrement dans le "truc" engendré par A.
En effet, en utilisant la caractérisation de l'anneau engendré par A donnée par Ulusse, pour tout polynôme P de n variables à coefficients entiers, les facteurs premiers du dénominateur du rationnel (sous forme simplifiée) sont des facteurs premiers des dénominateurs des (sous forme simplifiée). or, il n'existe qu'un nombre fini de tels facteurs premiers.

Ainsi, en prenant p un nombre premier qui ne divise aucun des dénominateurs des , n'appartient pas à l'anneau engendré par A.

Kaiser

Oui d'accord c'est aussi facile

merci

@+