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penchons nous sur les EV et AL !
Bonsoir tout le monde ! Content d'être en wkend j'espère ... ( ce n'est pourtant pas le cas de tout le monde ) ^^
Voila mon petit pb !
E = R(3)[X] avec le 3 en indice bien sur !!
pour k € [|1,n|], on pose uk = X(X+1)...(X-k+1) et u0 = 1
Montrons que la famille des polynômes uk est une base de E ?
j'ai donc montré qu'elle était libre car c'est une famille de polynomes de degré 2 a 2 distinct.
Mais je n'arrive pas à déterminer qu'elle est génératrice !
Un coup de main ??
deuxième point qui me dérange...
Après avoir démontré que f, application de E dans E qui au polynome P associe le polynome f(P) tel que f(P)(x) = p(x+1) - p (x) est une linéraire, il me faut déterminer f(uk) pour k appartenant à [|0,n|]??? La ça recoince !!
Merci d'avance pour votre éclaircissement !
Bonsoir fifou 
Ta famille libre a pour cardinal la dimension de l'espace E, à savoir 4: elle est donc automatiquement génératrice!
Quelle est ta définition exacte de Uk (je crois que tu t'es trompé(e) en recopiant!)?
le pb c'est qu'on a pas vu la dimension d'un espace !! yoré til une autre méthode ... ?
en effet mon énoncé est incorrect, il s'agit de uk = X (X-1) ... (X-k+1)
Pour montrer que la base est génératrice, mon conseil serait de montrer que la génère la base des X puissance n. Et ce, par récurence sur k (tu verras, c'est pas bien compliqué: (ui) i
<1, k> génère la famille (X puissance i) i<1, k+1>).
Pour la suite, je n'ai pas fouillé mais ca doit tourner autour du fait que Xuk(X+1) = uk+1(X)
Ok, pas de problème pour ce cas particulier:
il suffit de prouver que 1, X, X² et X3 sont engendrés par u0, u1, u2 et u3.
Or, 1=u0, X = u1, X² = X(X-1) + X = u2 + u1 donc c'est bon pour 1,X et X².
Pour obtenir une décomposition de X3, il suffit de développer u3 et d'observer que
u3 = X3 -3(X²-X) - X = X3 -3u2 - u1 , ce qui permet bien d'exprimer X3 en fonction de u0, u1, u2, u3.
jcomprend pas ta récurrénce ! C koi tes " i appartient à plus petit que 1 et tes k supérieur génère .... :s
Eh bien elle prouve que la base canonique de E est engendrée par u0,u1,u2,u3.
Cette famille engendre donc aussi toute combinaison linéaire de la base canonique de E, autrement dit elle engendre tout polynôme.
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