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Permutation
Bonjour à tous!!
Je rencontre un souci de compréhension avec mon devoir de maison.
Voici l'énoncé:
On suppose que |G| = 4. On note e; x1; x2; x3 les quatre éléments de G.
Montrer que chaque ligne et chaque colonne de la table de multiplication de G est une permu-
tation des éléments de G.
Voilà ce que j'ai fait:
G e x1 x2 x3
e e x1 x2 x3
x1 x1 x2 x3 e
x2 x2 x3 e x1
x3 x3 e x1 x2
C'est à partir de là que je ne comprends pas trop. On me demande:
Montrer que, à une renumerotation près des éléments de G, il existe seulement deux tables de
multiplications possibles pour ce groupe. Pour chacun des deux cas découverts, trouver un sous groupe S4( 4 en exposant) isomorphe à G
Pouvez vous m'expliquer ce que cela signifie? Que me demande t-il précisément de faire ?
(Surtout la première question où je ne vois pas ce qu'ils veulent dire par renumérotation)
Je vous remercie d'avance 
bonsoir,
*dans la table que tu as écrite est son propre inverse et
sont inverses l'un de l'autre
*on pourrait avoir est son propre inverse et
sont inverses l'un de l'autre
*ou encoreest son propre inverse et
sont inverses l'un de l'autre
le texte te dit de considérer que c'est la même loi:un élément autre que le neutre est son propre inverse et les deux autres sont inverses l'un de l'autre
par contre tu as oublié le cas où chaque élément est son propre inverse
ce qui donne bien deux tables
Il a fallu attendre la 15-ème ligne de ton message pour savoir qu'il s'agit d'un groupe G dont la loi est notée multiplicativement, sans signe opératoire. Il vaut mieux le dire dès le début.
1.Pour tout a de G les applications g et d de G dans G définies par g(x) = ax et d(x) = xa sont des bijections. (C'est à prouver ).
Voila ce que je ferais pour trouver tous les groupes finis à 4 éléments :
Soit G un tel groupe.
2..Son neutre sera noté e . Soit a 
G \ {e} . G contient donc aa qui ne peut être a (si aa = a alors a = e)
On a donc aa = e ou aa 
e.
.1-er cas : aa = e .Il reste encore 2 éléments de G . Soit b l'un d'eux.
On a : ab a (sinon b = e) et ab b (sinon a = e) et ab e sinon b = eb = aab = ae = a . ab est donc le dernier élément ( qu'on notra c) de G.
On a aussi ac = b qui est la seule possibilité (cf 1.)
On voit aussi que la seule possibilité pour ba , c'est ba = c et que nécessairement bc = e et donc bb = e.
On a alors ca = b , cb = a et cc = e (A toi de voir ,dans l'ordre, que c'est la seule façon de compléter la table de "multiplication")
2-ème cas :aa e . Comme aa a (sinon a = e) aa est un 3-ème élément de G. Notons le b et soit c le dernier.
On peut se servir alors d'un théorème qui dit que le cardinal d'un sous groupe d'un groupe fini divide le cardinal de ce groupe.
Ici le sous groupeH de G engendré par a contient déjà 3 éléments e , a et a2 = aa donc H = G et donc G = {e , a , a2 , a3} (sinon Card(H) = 3) et donc a4 = e.
Attention : Il faut faire une réciproque car ce qu'on vient de montrer c'est : Si G est un groge fini à 4 éléments alors sa table de multiplication est de l'un des 2 types que l'on vient de voir.
La réciproque consistera à prouver que les tables trouvées sont des tables de groupe.
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