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permutations

Posté par
alex999 10-09-09 à 19:47

Bonsoir,

J'aurais besoin d'une aide pour la question 3 de cet exercice:

On considère la permutation de S6 définie par (1)=4,(2)=3,(3)=5,(4)=1,(5)=2,(6)=6.

1) Décomposer cette permutation en produits de cycles do,nt les supportssont disjoints:
=(14)(235)
2) Quel est l'ordre de cette permutation? ma réponse est ppcm(2;3)=6.
3)Calculer les puissances n, n.

Merci d'avance de votre aide

Posté par
alex999re : permutations 10-09-09 à 19:49

Je bloque un peu là-dessus car mon professeur a passé très peu de temps sur ce point

Posté par
Arkhnorre : permutations 10-09-09 à 20:09

Bonsoir.

Tu as montré que l'ordre de \sigma est 6, par conséquent, il ne te reste plus qu'à calculer \sigma^k pour k compris entre 0 et 5.
En effet, on peut toujours écrire, par division euclidienne, un entier relatif n sous la forme n = 6q +k, avec 0 \le k \le 5, et donc \sigma^n = \sigma^{6q+k} = \sigma^k

Posté par
alex999re : permutations 10-09-09 à 20:22

ça j'avais compris en fait (j'aurais dû mieux m'exprimer) mais c'est la méthode pour calculer 2 (par exemple)que je n'ai pas vraiment maitrisé.
^2=(14)(235)(14)(235) mais à partir de là ...

Posté par
Arkhnorre : permutations 10-09-09 à 20:49

Les cycles sont à support disjoints, donc ils commutent, on a donc \sigma^2 = (14)(235)(14)(235) = (14)(14)(235)(235) = (253)

Posté par
alex999re : permutations 10-09-09 à 21:11

Et pourquoi a-t-on (14)(14)(235)(235)=(253)?

Posté par
alex999re : permutations 10-09-09 à 21:32

sinon: 3=(14)(235)(253)=(14) ? car on constate que les cycles (235) et (253) sont inverses?

Posté par
Arkhnorre : permutations 11-09-09 à 07:46

Et bien, (14)(14) = Id, et (235)(235) = (253).
La meilleure manière de le voir est de calculer : \sigma^2(2) = \sigma(\sigma(2)) = \sigma(3) = 5, \sigma^2(3) = \sigma(\sigma(3)) = \sigma(5) = 2, etc ...

Ok pour \sigma^3.

Posté par
alex999re : permutations 11-09-09 à 14:03

si 2(2)=5; 2(3)=2 et 2(5)=3, pourquoi n'a t-on pas (235)(235)=(523)(253) ? (sinon je sais bien que (253)=(532))

Posté par
alex999re : permutations 11-09-09 à 14:09

Pour la suite, on a alors, si 3=(14), 4=3=(14)(14)(235)=(235) et 5=4=(235)(14)(235)=(14)(235)(235)=(14)(253) ?

Posté par
Arkhnorre : permutations 11-09-09 à 15:38

La permutation qui envoie 2 sur 5, 5 sur 3, et 3 sur 2 est notée indifféremment (253) ou (532), ou encore (325), donc je ne comprends pas ta question ...

Ok pour les autres permutations.

Posté par
alex999re : permutations 11-09-09 à 16:35

En fait je me demandais pourquoi on ne mettait pas 2(2) d'abord, puis 2(3) et enfin 2(5) dans la permutation finale, soit (235)(235)=(523) ce qui est équivalent à (235)et (352)

Posté par
Arkhnorre : permutations 11-09-09 à 17:24

C'est l'écriture conventionnelle pour les cycles, la permutation (a_1a_2...a_k) est le k-cycle qui envoie a_1 sur a_2, a_2 sur a_3, ..., et a_k sur a_1.

\sigma^2 est un 3-cycle qui envoie 2 sur 5, 5 sur 3 et 3 sur 2.

Sinon, il y a l'écriture traditionnelle pour les permutations quelconques : \sigma = \left({\hspace{6}1\hspace{14}2\hspace{18}...\hspace{12}n\hspace{5}\\\sigma(1)\sigma(2)\hspace{5}...\hspace{5}\sigma(n)}\right)\

Posté par
alex999re : permutations 11-09-09 à 17:46

Merci de ton aide, j'ai compris maintenant

Posté par
Arkhnorre : permutations 11-09-09 à 18:10

De rien.

A bientôt.


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