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Niveau Maths sup
Petit exercice sur les espaces vectoriels
Posté par gbm 
Bonjour à tous,
j'ai ce petit exercice à faire et j'aimerai savoir si je suis suffisamment rigoureux, et s'il n'y a pas d'erreur 
.
L'énoncé est le suivant :
Citation :
Soient a et b, 2 réels distincts et f un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n,
vérifiantf+ab.Id = 0)
.
On suppose que f n'est ni égale à aId, ni à bId.
a) Démontrer que+Ker(f-bId))
(en somme directe).
b) Calculer
dans le cas où f est bijective.
Soient a et b, 2 réels distincts et f un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n,
vérifiant
On suppose que f n'est ni égale à aId, ni à bId.
a) Démontrer que
b) Calculer
_____________________________________________________________________________________________
Réponses :
a) En tant que noyaux d'applications linéaires, Ker(f-a.Id) et Ker(f-b.Id) sont des sous-espaces vectoriels de E.
* Soit x
Ker(f-aId)
Ker(f-bId),
on a f(x) = ax et f(x) = bx <=> a = b ce qui est impossible par hypothèse.
Donc Ker(f-a.Id)
Ker(f-b.Id) = {0}
b) Soit x
E,
posons u = bx - f(x) et v = f(x) - ax, on a u+v = (b-a)x.
Donc u
Ker(f-a.Id).
De même,
donc v
Ker(f-b.Id).
ainsi E = Ker(f-a.Id)+Ker(f-b.Id).
Ainsi, les deux sev sont supplémentaires.
b) Posons
L(E)
On a
et de même gof = Id
donc f est un automorphisme et f-1 = g
_________________________________________________________________________________________________
Merci d'avance à ceux et celles qui corrigeront mes réponses
Bonjour
C'est correct. Simplement, dans
Citation :
f(x) = ax et f(x) = bx <=> a = b ce qui est impossible par hypothèse.
f(x) = ax et f(x) = bx <=> a = b ce qui est impossible par hypothèse.
je préciserai que je prends x non nul.
Ensuite, pour la réciproque tu as divisé par ab ce qui pose problème... Il faut donc traiter séparément le cas où l'un des deux est nul (seulement un puisqu'ils sont distincts)
0 et bTu as raison, si, par exemple b=0, on a f(f-b)=0 et f n'est certainement pas inversible! Donc c'est nécessaire d'avoir
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