Inscription / Connexion Nouveau Sujet
petit exo récapitulatif , algèbre linéaire
Bonjour , je me suis crée un petit exercice personnel d'algèbre linéaire , j'aimerais votre avis sur mes réponses svp :
Soit f l'application linéaire de R³ dans R³ définie par :
{ x 
R³ ---> (2x-y , z , x+z }
1) vérifier que f est bien linéaire .
Alors f est linéaire si f(aU + bV) = af(u) + bf(v) , a et b étant des scalaires .
Ici , f(au) = (2ax - ay , az , ax + az) , f(bv) = (2bx' - by' , bz' , bx'+ bz') , et on voit bien que af(u) + b(f(v) = f(au + bv)...
2) Ecrire la matrice M de f .
C'est un endomorphisme , donc tjs caractérisé par une matrice carrée , cette matrice est :
2 -1 0
0 0 1
1 0 1
3) Calculer la matrice M^-1 .
Une matrice est inversible si le système Ax = b admet une unique solution , je résous :
2x - y = a
z = b
x + z = c
x = -b + c , y = -a - 2b + 2c , z = b , la matrice inverse est donc :
0 -1 1
-1 -2 2
0 1 0
4) Calculer le rang de M et la dimension du noyau .
Et bien vu que det M = -1 , son rang est 3 , et d'après le théorème de rang , la dimension du noyau vaut 0 .
5) calculer la matrice de l'application lin"aire dans les bases e,e',e'' ( ce sont les vecteurs colonnes ) :
1 4 3
2 1 5
3 2 1
Alors là j'ai pas fait les calculs car c'est saoulant , je vous montre néamoins ma méthode : je calcule f(1,2,3) ( je multiplie par la matrice M de f donc ) , ce qui me donne (0,3,4) . Et ensuite pour avoir la 1ere colonne de ma matrice , je résous le système :
Q*x = (1,2,3) , x étant un vecteur (x,y,z) .
Que pensez vous de mes réponses jusqu'ici ?
je vous remercie .
Salut!
Tes réponses sont bonnes, à part à la fin où il faut plutôt résoudre l'équation Q*x = (0,3,4) en appelant Q la matrice
1 4 3
2 1 5
3 2 1
(J'espère que tu pensais bien à celle-là!)
Dans la question 1, tu n'as pas fait la vérification complète.
Par contre certaines formulations sont maladroites (c'est LA base (e,e',e")) et surtout les questions sont posées dans le mauvais ordre:
La question 3 suppose que M est déjà inversible, il vaut mieux demander "Prouver que M est inversible et calculer son inverse".
La question 4 n'a plus de sens car si M est inversible, c'est que f est un isomorphisme, donc que son rang vaut 3 et que son noyau est nul.
Bonsoir tig :
"
La question 4 n'a plus de sens car si M est inversible, c'est que f est un isomorphisme"
j'ai déjà vu plein d'endomorphisme qui ont des matrices inversibles je ne te comprends pas là...
Petite question : comment on fait pour calculer juste les valeurs propres de M ?
Qu'est-ce que tu ne comprends pas?
Si la matrice d'un morphisme est inversible, c'est que c'est un isomorphisme!
Les valeurs propres s'obtiennent avec le polynôme caractéristique, leur détermination n'est pas au programme en première année.
Ah bon???C'est très surprenant!
Tu veux une recette de cuisine ou bien comprendre pourquoi ce que je vais écrire marche?
je crois que j'ai compris ce que c'etait les vecteurs propres et valeurs propres , ce sont des vecteurs directionnels c'est tout , et les valeurs propres ce sont des coeff d'agrandissement de ces vecteurs , ça résume bien l'affaire ?
mais ces vecteurs directionnels , ils vont dans quelle direction en partant de où à où , c'est ça la grande question...
allez vas y explique je vois que t'en meurres d'envie , mais pas une explication ultra formelle d'agrégé stp 
Meuh non, voyons, tu me connais!!
Déf: On dit que u est un vecteur propre de f si u est non nul et s'il existe un scalaire a tel que
a est appelée valeur propre associée au vecteur propre u.
Propriété: L'ensemble constitué du vecteur nul, et des vecteurs propres associés à une même valeur propre a, est un sous-espace de E.C'est Ker(f-a.id), il est appelé espace propre associé à la valeur propre a.
Dém: u est le vecteur nul, ou bien est associé à a ssi f(u)=a.u, qui s'écrit (f-a.id)(a)=0 ou encore
Propriété: un scalaire a donné est valeur propre de f ssi a est racine du polynôme det(A-X.id), où A est la matrice de f dans une base fixe.
Remarque: ce polynôme s'obtient en calculant, en fonction de X, le déterminant de la matrice A-X.id.
Il ne dépend pas de la base choisie pour représenter f (puisque le déterminant d'un endomorphisme ne dépend pas de la base choisie) , et il est appelé polynôme caractéristique de f.Les valeurs propres s'obtiennent donc toutes en calculant les racines du polynôme caractéristique.
Démonstration:
a est valeur propre de f
<=> il existe u non nul tel que f(u)=a.u
<=> Ker(f-a.id) est non réduit à {0}
<=> f-a.id n'est pas injective
<=> f-a.id n'est pas bijective
<=> det(f-a.id) = 0
<=> a est racine du polynôme det(f-X.id) = det(A-X.Id).
La recette de cuisine est expliquée dans la remarque du deuxième cadre!
Propriété: L'ensemble constitué du vecteur nul, et des vecteurs propres associés à une même valeur propre a, est un sous-espace de E.C'est Ker(f-a.id), il est appelé espace propre associé à la valeur propre a.
Dém: u est le vecteur nul, ou bien est associé à a ssi f(u)=a.u, qui s'écrit (f-a.id)(a)=0
->Pardon, qui s'écrit f-a.id(u) = 0.
Euh...Un vecteur, c'est un élément d'un espace vectoriel, et en dimension finie, ça se détermine par ses coordonnées dans une base donnée!
Je ne comprends pas ta question, si tu veux tracer des vecteurs comme dans les petites classes, tu peux imaginer que le vecteur nul est le point origine O, tracer le point M ayant les mêmes coordonnées que u, et visualiser u comme le vecteur OM.
J'espère que je n'ai pas écrit tout ce qui précède pour rien...
Essaie d'être plus claire dans la formulation de tes questions s'il-te-plaît!
Annuler
connectez vous
algèbre en Bts