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petit exo sur les morphisme de groupe

Posté par
freddou06 04-02-09 à 15:44

salut!!
j'ai cet exo ou je n'ai pas de correction merci de votre aide

1)Montrer que l'application f : GL2()
                                               cos    -sin
                                                                     (la matrice)
                                               sin    cos

est un morphisme de groupes.

2)Quelle est son image?

3)Quel est son noyau?

Reponse:
Pour la 1 j'ai montrer que (R , + , 0) et (GL2(R), . ,I2) sont deux groupe et f verifient bien:
,' , f(+') = f() . f(')
donc f est bien un morphisme de groupe..

2) comment faire

Posté par
Camélia Correcteurre : petit exo sur les morphisme de groupe 04-02-09 à 15:48

Bonjour

Pour l'image tu ne trouveras pas mieux que l'ensemble des matrices de la forme \(\begin{array}{rr}a & -b\\ b & a\end{array}\) où a^2+b^2=1. En revanche on voit très bien le noyau!

Je suppose que tu as reconnu qu'il s'agit de rotations!

Posté par
freddou06re : petit exo sur les morphisme de groupe 04-02-09 à 15:55

pour le noyau je trouve 0[2] (soit k2 avec k ).

pour la rotation je ne vois pas tro connais pas l matrice peux tu me donner un exemple?

Posté par
Camélia Correcteurre : petit exo sur les morphisme de groupe 04-02-09 à 15:59

Oui, le noyau est bien \{2k\pi}|k\in {\bb{Z}}\}

La matrice f(\theta) est la matrice de la rotation d'angle \theta par rapport à la base canonique. Unr réponse possible pour la question sur l'image serait: l'image est formée du groupe des rotations!

Posté par
freddou06re : petit exo sur les morphisme de groupe 04-02-09 à 16:29

ok merci bcp je vais mediter sur la rotation ^^


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