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Petite démonstration qui devrait être assez simple

Posté par
Berkeley 11-10-09 à 16:52

Bonjour à tous,

Je sais que la démonstration que je vais demander est une petite démonstration assez simple, mais j'ai du mal avec mon Cours sur les lois de composition interne et avec leurs propriétés.

Tout d'abord , on suppose que :
la loi * est associative
x appartient à E et x' également (x' étant le symétrique de x dans E pour *)

E est muni de * et F est muni de T. On a f isomorphisme de (E,*) dans (F,T).

On veut montrer que :
1) T est également associative  
et que:
2)f(x) admet aussi un symétrique.

Pour le 1) j'ai commencé en partant de :
(a T b) T c = (f(xa) T f(xb) ) T f(xc) avec xa,xb et xc les antécédents de a, b et c. Mais je ne pense pas que cela mène à quelque chose.

Merci d'avance pour vos explications et désolée pour le dérangement!

Posté par
Camélia Correcteurre : Petite démonstration qui devrait être assez simple 11-10-09 à 17:01

Bonjour

mais bien sur que ça mène...

Tu n'as pas encore utilisé le fait que c'est un morphisme... alors tu trouves f((x_a*x_b)*x_c), puis grace à l'associativité de * tu changes les parenthèses de place...

Pour 2) tu démontres que f(x)^{-1}=f(x^{-1})

Posté par
Berkeleyre : Petite démonstration qui devrait être assez simple 11-10-09 à 17:16

Mais comment passe tu à la forme f((xa * xb)*xc) puisque T n'est pas associative?

Pardon, mais j'ai du mal :s

en fait on a donc
a T b) T c = (f(xa) T f(xb) ) T f(xc) = f(xa * xb) T f(xc)
et comment arrive -t -on a ce que tu m'as donné?

Pour la 2 je t'avoues que je n'ai pas encore bucher la dessus!
merci bcp pour ton aide

Posté par
Camélia Correcteurre : Petite démonstration qui devrait être assez simple 11-10-09 à 17:24

(a\top b)\top c=(f(x_a)\top f(x_b))\top f(x_c)=f(x_a*x_b)\top f(x_c)\\ =f((x_a*x_b)*x_c))=f(x_a*(x_b*x_c))=f(x_a)\top f(x_b*x_c)=f(x_a)\top (f(x_b)\top f(x_c))=a\top(b\top c)

Posté par
Berkeleyre : Petite démonstration qui devrait être assez simple 11-10-09 à 17:26

voila c'est le passage :
f(xa * xb) T f(xc) = f ((xa*xb) * xc)

pourquOi? désolée de te déranger avec ça ...

Posté par
Berkeleyre : Petite démonstration qui devrait être assez simple 11-10-09 à 17:31

Pour la 2 je ne vois pas par quoi commencer ! =S

Posté par
Camélia Correcteurre : Petite démonstration qui devrait être assez simple 11-10-09 à 17:38

Parceque f est un morphisme! On a f(X*Y)=f(X)\top f(Y) même si X=(x_a*x_b)

Pour les inverses: En principe il y a quelque part la démonstration du fait que f(e) est élément neutre pour \top sinon, il faut le faire...
Après f(x)\top f(x')=f(x*x')=f(e) donc f(x') est inverse à droite de f(x) et pareil pour la gauche!

Posté par
Berkeleyre : Petite démonstration qui devrait être assez simple 11-10-09 à 17:43

Merci bcp ! je comprends mieux pour le morphisme.

Pour la question 2 j'ai encore du mal mais je vais bcp y réfléchir !

Merci bcp


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