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Petite précision polynômes

Posté par
Thoy 11-03-10 à 15:42

Bonsoir, j'ai un exercice que j'ai fait, il me manque simplement la fin que j'ai du mal à faire, voici.
Soit 3$P_n=(X+1)^n-X^n+1-2^n.
Pour n impair, j'ai montré que 1 était racine de P, et je dois montrer qiue -2 l'est.

J'ai donc
3$P_n(-2)=\Bigsum_{k=0}^n~\(n\\k)(-2)^k-(-2)^n+1-2^n, et comment simplifier la somme ?

La suite demande de montrer pour n3 impair que P3 divise Pn j'ai donc un reste de la forme
3$Pn=QP3+aX^2+bX+c donc je dois montrer que le reste est nul, en évaluant par exemple Pn en 1, -2 et 0 mais je trouve c non nul ce qui ne va pas...

Merci de votre aide

Posté par
Camélia Correcteurre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 15:45

Rebonjour

Qu'est-ce que tu fabriques?

P_n(-2)=(-2+1)^n-(-2)^n+1-2^n=(-1)^n-(-2)^n+1-2^n

Posté par
Camélia Correcteurre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 15:48

Je te fais remarquer que P_n est de degré n-1, donc P_3 est de degré 2!

Posté par
Thoyre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 15:53

Effectivement c'est pour ça que je n'avais pas fait attention...

Posté par
Thoyre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 15:58

Ceci dit j'ai bien P_3=3X^3+3X-6 c'était bon

Posté par
Thoyre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 16:00

Si je veux maintenant par exemple factoriser P5 sur Q et C, je peux utiliser ce que j'ai fait ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 16:16

P_3(X)=3X^2+3X-6

Puisque tu sais que P_3 divise P_5, fais la division. Tu as déjà décomposé P_3 il te restera à factoriser le quotient.

Posté par
Thoyre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 16:19

Oui c'est un carré pardon.
Puis-je utiliser Horner?

Posté par
Thoyre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 16:26

Je trouve 3$P_5=(\frac{5}{3}X^2+\frac{5}{3}X+5)P_3 avec reste nul et cette factorisation est donc valable dans Q et dans C ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 16:44

Je n'ai pas vérifié le calcul... Mais déjà P_3(X)=3(X-1)(X+2) et il est possible que le quotient de degré 2 ait des racines, donc factorise encore...

Posté par
Thoyre : Petite précision polynômes 11-03-10 à 16:48

Ca marche, merci Camélia!


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