Bien le bonjour !

Regarde avec ces matrices :


Elles ont le meme polynome caractéristique qui est scindé sur R, donc elles sont diagonalisables.
Je te laisse voir que leur produit ne l'est pas.

Merci beaucoup! je vais le vérifíer!

Effectivement on tombe sur A*B=C=

-3 -8
2  5

en calculant le polynome caractéristique on tombe sur T²+16 le discriminant et négatif il n'y a donc pas de solution! Merci beaucoup!

Hum en fait ,
le polynome caractéristique de C c'est
et non pas .

Ceci dit, on vérifie simplement que dim(ker(C-I))=1 d'ou le probleme

désolée je viens de lire le message effectivement j'ai fait une petite erreure de calcul le discriminant est nul il n'y  a donc qu'une solution alors qu'il devrait y'en avoir deux ( et sachant que C n'est pas sous forme diagonalisable on ne peut pas dire que c est une matrice diagonalisable)...Merci!

Bonjour

Cet exercice m'avait intéressé, je n'ai pas eu le temps de chercher et d'ailleurs je ne voyais pas ce qui "ferait marcher la chose".
Narhm, peux tu indiquer comment tu as procédé pour trouver ce contre-exemple ? Merci!

Bonjour !
Je ne sais pas si ma méthode est la plus rapide, et d'ailleurs ça n'est certainement pas le cas.
Je pars des propositions suivantes : toute matrice de est diagonalisable si son polynôme caractéristique est scindé simple sur et que pour toutes matrices A de , le polynôme caractéristique de A est donné par .

Après ça, on peut distinguer deux cas, (1) soit on part d'une matrice C non diagonalisable dans et on cherche deux matrices diagonalisables A et B dont le produit vaut C ( à taton : ) ). (2) Soit on prend deux matrices A et B, qui vérifient le même polynôme caractéristique scindé simple sur pour simplifier disons, et on calcule AB en modifiant ( à taton là encore ) les coeffs pour avoir AB non diagonalisable.

Par exemple :
* (1) : Prenons la matrice , alors .
Donc C n'est pas diagonalisable dans .
Apres un petit trifouillage de coefficient on tombe assez vite ( par le biais de 0 imposés qui nous aident ) sur et diagonalisables dans avec AB=C.

* (2) : Si on prend deux matrices A et B : alors on a ,
Pour avoir A et B diagonalisables imposons et par exemple. Avec ça A et B sont bien diagonalisables.
Fixons des conditions pour que C ne soit pas diagonalisable : et .
On a un petit système qu'on peut résoudre en fixant 2 variables.
Si on fixe b et g, on obtient une solution :
En prenant b=1, g=2 on alors directement que , et .

Voilà les idées que j'avais eues pour trouver un exemple à la question de tazia.
Le plus simple doit rester dans la magouille des coefficients de A et B pour aboutir à ce qu'on souhaite je pense. C'est d'ailleurs comme ca que j'avais trouver directement mon premier exemple.

Bonsoir,

Oui, autre méthode plus courte : une matrice 2x2 triangulaire dont la diagonale a des éléments différents est diagonalisable

1  a
0  2

par exemple . Maintenant le produit avec

2  b
0  1

est à diagonale de même terme
2  a+b
0  2
tu choisis  a+b non nul et tu as le résultat.

Merci vous deux!