Niveau Maths sup

Petite question rapide sur le rang d'une application

Posté par
WazAtaX 03-03-09 à 00:21

Bonjour, tout est dans le titre, voici la petite question que je me pose, soulevée au cours d'un exercice :

Soit u une application linéaire de E dans F, E et F K-ev.
A t'on l'égalité "rg(u) = rg(-u)" ? intuitivement je pense que oui, mais je n'arrive pas à m'en convaincre proprement. Pourriez vous m'aider ?

Merci d'avance,

Amicalement,

Waz

Posté par re : Petite question rapide sur le rang d'une application 03-03-09 à 16:29

à ton avis, quelle différence y a-t-il entre les espaces images de u et de (-u) ?

Posté par re : Petite question rapide sur le rang d'une application 03-03-09 à 16:29

et bonjour

Posté par re : Petite question rapide sur le rang d'une application 03-03-09 à 23:38

Je dirais que chaque élément image est l'opposé d'un élément image de u, du coup la dimension est la même selon moi. Mais bon tout ça c'est intuitif je sais pas trop si ça vaut ^^

Posté par re : Petite question rapide sur le rang d'une application 03-03-09 à 23:39

La plupart du temps, les choses qui me paraissent intuitivent se révèlent carrément fausse xD

Posté par re : Petite question rapide sur le rang d'une application 04-03-09 à 03:07

bonjour
Im u est un sev
donc si un vecteur $v\in Im u$ alors aussi $-v\in Im u$

Maintenant si $w\in Im(-u)$ , il existe $x$ tq $w=-u(x)$ ou encore $-w=u(x)$
c'est-à-dire $-w\in Im u$

d'apres la premiere remarque on en deduit ....

je te laisse finir

Posté par re : Petite question rapide sur le rang d'une application 04-03-09 à 21:49

Han oui d'accord.

On a rg(u)=Dim(Im(u))

Si w est dans Im(-u), d'après ce que tu as démontré, on a -w dans Im(u), et donc w dans Im(u) parce que Im(u) est un sev, et par conséquent, Im(-u) = Im(u)

Donc les dimensions sont égales, et donc les rangs.

C'est ça ?

Ou alors il faudrait peut-être montrer déjà l'inclusion de Im(u) dans Im(-u) avant de déduire l'égalité (s'il y a bien égalité)

Posté par re : Petite question rapide sur le rang d'une application 05-03-09 à 01:12

Citation :
Ou alors il faudrait peut-être montrer déjà l'inclusion de Im(u) dans Im(-u) avant de déduire l'égalité (s'il y a bien égalité)

nous avons montré $Im(- u)\subset Im(u)$
on en déduit comme u est quelconque

$Im(- v)\subset Im(v)$ pour $v=-u$
cela donne l'autre inclusion

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