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PGCD de deux polynômes
Bonsoir,
voici la question :
soit P1 et P2 deux polynômes de R[X] tel que :
P1(X) = X^5 + X + 1
P2(X) = X^4 + X^2 +1
determiner le PGCD (P1 , P2) ?
la seule méthode que je connais c'est l'algorithme d'euclide :
la solution que j'ai faite est la suivante:
P1 = P2*X + (1-X^3)
P2 = (1-X^3)*(-X) + X^2 + X + 1
1 - X3 = (X^2 + X + 1)*(-X) + (1 - X)
X^2 + X + 1 = (1-X)*(-X-2) +3
donc PGCD (P1,P2) = 3
est ce que c'est bon ?? y a -t- il une autre méthode??
Bonjour, abenmoussa
Il y a une erreur dans la troisième ligne de ton calcul. En fait:
1-X³ = (X²+X+1)(-X+1)
DOnc, le pgcd de tes deux polynômes vaut X²+X+1
bonsoir,
après avoir trouvé le PGCD(P1,P2) = X² + x + 1
la deuxième question consistait a trouver p1 et p2 tel que
p1 = P1 / (PGCD(P1,P2)) et p2 = P2 /(PGCD(P1,P2))
résultat :
p1 = X³ - X² + 1
et
p2 = X² - X + 1
la troisième question consistait a trouver A et B dans R[X] tq :
A*p1 + B*p2 = 1
Résultat : A = X et B = 1 - X²
mon problème c'est que je bloque dans la question suivante :
Trouver un polynôme P de degré Inférieur à 4 vérifiant :
P congru 1 mod p1 et P congru -1 mod p2
ensuite trouver tous les polynômes P vérifiant la proposition cidessus.
pourriez vous me donner une indication ??
j' ai trouvé un polynome de degré 4 par le raisonnement suivant :
P congru 1 mod p1 et P congru -1 mod p2 alors 
(Q,Q')
R[X] tq:
P-1 = p1*Q et P+1 = p2*Q'
en faisant la difference des deux égalités on trouve : 2 = p2*Q' - p1*Q
donc 1 = p2*Q'/2 -p1*Q/2
or on a trouvé A et B dans la question précedente : il suffit donc de poser Q = -2*A et Q' = 2*B
ainsi on trouve P = 2*(-X^4 + X³ - X) +1.
par contre je sais pas si le prof nous a demandé un polynome de degré strictement inférieur a 4 ou pas ??
une idée ?? 
Ton prof demandait bien un polynôme de degré inférieur ou égal à 4 (et pas de degré strictement inférieur à 4).
merci , par contre j'ai du mal a trouver tous les polynômes verifiant :
P congru 1 mod p1 et P congru -1 mod p2
Appelons Q le polynôme particulier que tu as trouvé.
Le système
P 
1 (p1)
P -1 (p2)
s'écrit
P Q (p1)
P Q (p2)
Il est donc nécessaire et suffisant que P-Q soit multiple de p1 et p2 et donc que P-Q soit multiple du produit p1p2 (puisque p1 et p2 sont premiers entre eux)
...
merci Perroquet , ça me rassure sur le fait que je suis dans la bonne voie, merci beaucoup pour le coup de main.
donc l'ensemble des polynômes qui verifient : P congru 1 mod p1 et P congru -1 mod p2 est l'ideal : (p1p2) ?? c'est ca ??
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