Bonsoir
Ca dépend un peu de ce que tu sais...
Les polynomes cyclotomiques ca te dit qqch?

bonsoir,

non pas du tout !!!

Bon deja est ce que tu sais montrer que le polynome en question X^{(m,n)}-1 divise bien tes deux polynomes...

on peut montrer que le polynome en question divise X^(pgcd(m,n)) en posant :

pgcd(m,n) = d
on sait que d/m et d/n et :

P_m = (X^d - 1)( X^(m-d) +....+ 1)
ainsi que
P_n = (X^d - 1)( X^(n-d) +X^(n-2d) +.... +1)
????

c'est juste ce que j'ai écris ??

Oui c'est juste tu t'es donc ramené a prouver que si m et n sont premiers entre eux alors X^m-1 et X^n-1 sont premiers entre eux... Tu peux le montrer dans la cloture algébrique de K ce qui impliquera le resultat, mais il faut faire attention a la caractéristique de K

pourriez vous m'expliquer un peut!!

    jusqu'à maintenant je ne peux dire que X^d - 1  divise le pgcd des deux polynomes X^m-1 et X^n-1. mais comment pourrai je savoir que c'est lui le pgcd. pour le cas de m et n premiers ce n'est qu'un cas particuliers, devrai-je le citer aussi ?? parce que pgcd (X^m-1 , X^n-1) = X - 1 !!!!
est ce que je me trompe sur quelque chose ??

en c'est ce que je te dis pour n et m premiers entre eux (et pas premiers tout courts) on va montrer que leur pgcd est (X-1)... On se ramènera à ce cas d'apres la remarque que tu a fait tout a l'heure si m et n ne sont pas premièer entre eux alors on les divise par leur pgcd

ah, donc en etudiant le cas de m et n premiers entre eux on pourra confirmer que le pgcd des deux polynomes est bien X^d - 1 avec d = pgcd(m,n)??
il suffit que je montre maintenant que dans le cas ou n et m premiers (entre eux )  que le pgcd des deux polynomes est X-1!!

j'espere que j'ai bien compris ce que vous m'avez dit et je m'excuse dans le cas contraire.

Oui c'est bien ça

ok,

maintenant on a :

X^m - 1 = (X - 1) (1+X^2 +.. + X^(m-1))
X^n - 1 = (X - 1) (1+X^2 +.. + X^(n-1))

ici je bloque, je sais que dans R c'est fini car  (1+X^2 +.. + X^(m-1)) n'admet aps de racine donc le pgcd est X-1
mais C est un corps algebriquement clos donc tout polynome  est scindé donc admet n racine en comptant l'ordre de multiplicité donc je ne sait as comment montrer que (1+X^2 +.. + X^(m-1)) est premier avec (1+X^2 +.. + X^(n-1))