Salut

L'idée est de se dire qu'effectivement la hauteur est orthogonale à (ABC) donc colinéaire à un vecteur normal à (ABC)

Or, si l'on note ax+by+cz+d=0 une équation cartésienne du plan, alors le vecteur de composante (a,b,c) est normal au plan.

On sait donc que est un vecteur directeur de la droite.
De plus cette droite passe par S (dont on note (x_S,y_S,z_S) les coordonnées).

Ainsi, la hauteur est l'ensemble des points M(x,y,z) tels que . Cela nous permet de donner une équation paramétrique de la hauteur :


On cherche le point O de la droite appartenant aussi à (ABC).

Les coordonnées (x,y,z) de O vérifient donc en même temps le système paramétrique et l'équation cartésienne de (ABC)

On en déduit :

Soit :

Et au final :


On injecte dans l'équation paramètrique, on obtient les coordonnées du sommet :


Ce serait surement plus simple avec des notions de produit vectoriel.


Jord

Merci beaucoup de ton aide!

Il me reste donc à déterminer une équation carthésienne du plan. Y-a-til un moyen de la définir sans devoir discuter des valeurs de Xc-Xa, Xb-Xa, Yc-Ya, Yb-Ya, Zc-Za et Zb-Za? Car pour le moment, j'ai:

Pour tout M(x y z) du plan ABC

AM = aAB + bAC

d'où

X-Xa = (Xb-Xa)a + (Xc-Xa)b
Y-Ya = (Yb-Ya)a + (Yc-Ya)b
Z-Za = (Zb-Za)a + (Zc-Za)b

Suis-je obligé de discuter suivant les valeures des différences entre parenthèses, oe existe-t-il un moyen de le faire sans discussion?

Euh je ne comprends pas de quelles différences tu parles. As-tu les coordonées des 4 sommets? Dans ce cas là comme je l'ai dit c'est réglé.

Oui, j'ai les coordonées, mais elles peuvent varier dans l'espace... donc pour exprimer a, par exemple, il faut que je prenne (Xb-Xa) s'il n'est aps nul, sinon, (Yb-Ya) s'il n'est pas nul, sinon, (Zc-Za) (qui n'est pas nul, sinon, AB serait un vecteur nul)...

Dois-je donc regarder si Xb-Xa est non nul, pour ensuite exprimer a, ou existe-t-il un moyen de l'exprimer sans devoir vérifier que Xb-Xa est non-nul?

Je ne comprends toujours pas... peut-on avoir le problème posé clairement? Tu dis avoir les coordonnées (sous entendant qu'elles sont fixes) et ensuite tu dis que les points varient... Que cherches-tu à avoir? Le lieu géométrique des points O par exemple?

"Je dispose d'un tétraèdre quelconque, dont je connais les coordonées des sommets (on va dire ABC pour la base, et S pour le sommet). Ces points varients et peuvent se balader dans l'espace, qui est munit d'un repère orthonormal (i; j; k)."

Ces coordonées ne sont pas des inconnues, mais des variables: elles peuvent prendre toutes les valeures possible. Le but est de trouver S en fonction des 4 autres points en fait (je me suis peut-etre mal exprimé)

Ce que je t'ai donné, que veux-tu de plus?

mais je n'ai aps compris comment je peux trouver a b et c, dans l'équation carthésienne du plan

Tu ne sais pas trouver l'équation cartésienne d'un plan? En quelle classe es-tu ?

j'entre en Terminale.
Mon problème n'est pas de truover l'équation carthésienne en fait, ca, j'y arrive encore ^^
Ma question était de savoir s'il existait une formule qui serait valable pour tous les points de l'espace, si les 3 sont distincts (donc, que cela amrche aussi dans les cas particuliers comme un plan parralèle à l'horizontale ou un plan vertical, où les vecteurs X ou Y ou Z ne seraient pas impliqués)

Ben c'est la formule que j'ai trouvée.

Au passage, une droite de l'espace n'a pas d'équation cartésienne

Pour trouver cette équation carthésienne, j'ai appris 2 méthodes:
Par 3 points du plan

ax + by + cz + d = 0

A(Ax; Ay; Az) et B(Bx;By;Bz) C(Cx;Cy;Cz) appartiennent au plan P

Donc, leurs coordonées vérifients les équations

aAx + bAy + cAz + d = 0
aBx + bBy + cBz + d = 0
aCx + bCy + cCz + d = 0

Mais je ne sais pas comment résoudre cela sans avoir une valeure fixe des coordonées de A B et C. Comment puis-je faire, étant donné que ces coordonées ne sont pas fixe?

J'ai aussi appris une seconde technique, avec les vecteurs définissant le plan

AB(ABx ABy ABz) et AC(ACx ACy ACz) sont deux vecteurs non-collinéaires et non-nuls. Ils forment donc un plan P.
Pour tout point M(Mx My Mz) de ce plan P, on a:

AM = kAB + k'AC

avec k et k' des réels

Donc, j'ai
(Mx-Ax) = k(Bx-Ax) + k'(Cx-Ax)
(Mx-Ax) = k(By-Ay) + k'(Cy-Ay)
(Mx-Ax) = k(Bz-Az) + k'(Cz-Az)

je dois trouver k et k' en fonction des coordonées connues (donc pas de Mx)

k(Bx-Ax) = (Mx-Ax) -k'(Cx-Ax)

Or là, si je veux donner k, il faut que (Bx-Ax) ne soit pas nul (sinon, cela revient à diviser par zéro).
Existe-t-il une autre technique, qui fonctionnerait pour tous les points du plan, sans avoir de condition à rajouter?

Ops, le début de mon message est passé à la trappe...

Dans l'équation que tu m'as (aimablement ^^) trouvée, on a x y et z en fonction de a b et c. Or, il faut que je le trouve en fonction de A B et C (enfin, en fonction des coordonées de ces trois points)...

Oui, le plus rapide est de trouver un vecteur normal au plan, ses composantes te donnera les a,b et c de l'équation de ton plan. Pour avoir le d tu remplaces par un point du plan!

[tex]Pour trouver ce vecteur normal \vec{n}, il faut que le produit scalaire \vec{AB} . \vec{n} soit nul, et que le produit scalaire \vec{AC}.\vec{n} soit nul aussi. Ce qui donnerait un systeme à deux équations, et trois inconnues:

Nx ABx + Ny ABy + Nz ABz = 0
Nx ACx + Ny ACy + Nz ACz = 0

Domment doit-on s'y prendre pour résoudre un systeme de 2 équations à 3 inconnues? Chaque inconnue serait exprimée en fonction des deux autres, mais comment puis-je trouver Nx, Ny Nz en fonction des autres coordonées?

Le systeme n'a-t-il pas une infinité de solution, puisqu'il y a une infiniteé de vecteurs normals au plan, et collinéaires entre eux?
Y-a-t-il une autre équation que j'ai oubliée (et qui restreindrait à 1 seule solution), ou dois-je prendre une valeure "au pif" pour Nx, Ny et Nz? Auquel c

m***

...auquel cas, je risque d'avoir un résultat absurde si je prend Nx = 1, alors qu'il vaut 0... je me retrouverait avec un vecteur nul.

Comment dois-je m'y prendre pour n'avoir qu'un résultat pour (Nx Ny Nz)?

(je suis désolé, mais mon doigt à rippé et le message a été envoyé sans que j'ai eu le temps de le terminer. Existe-t-il un outil d'édition du message sur ce forum?)

Merci de votre aide déjà bien fournie!

Bonjour,

Une infinité de solution, oui, et c' est normal: quand on a un vecteur normal à un plan, tous les vecteurs colinéaires à ce vecteur sont normaux au plan.
Il suffit d' en trouver un; on fixe une des coordonnées, par exemple, en reprenant tes notations, Nz=1, et on résout le système de 2 équations à 2 inconnues qui en résulte.

Re,

J' avais survolé ton Topic, je me rends compte, que j' ai enfoncé une porte ouverte.

Ceci dit, tu devrais poster l' énoncé exact; il n' y a pas grand intérêt a trouver des formules littérales dans ce genre d' exercice.