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Planche TPE
Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à répondre à la question suivante tirée d'une planche du concours TPE:
Que peut-on dire des matrices A appartenant à Mn(R) telles que A^3=A^2.
Merci.
Bonjour mister_lebanon
De manière générale, quand on a affaire à une matrice, a quoi s'intéresse-t-on en premier ?
Kaiser
Bonjour à tous 
Oui au déterminant, regarde ce que ça donne ici.
Et remarque que le polynôme X^3 - X² est annulateur de A.
Autre chose. Quel genre de propriété sympathique on aimerait avoir quand on a affaire à une matrice carrée ?
A est diagonalisable car il existe un polynôme annulateur de l'endomorphisme associé à A scindé sur R et à racines simples. P(X)= X^3 - X^2=X^2 (X-1), non? Mais comment on peut calculer le déterminant ici?
oups désolé, quelque chose m'a échappé. la matrice n'est pas forcément diagonalisable : ce polynôme annulateur n'est pas à racines simples (0 est racine double) mais il est quand même scindé. On peut quand même dire quelque chose dans ce cas.
Pour le déterminant, on ne peut pas donner sa valeur exacte mais on peut quand même donner les valeurs possibles de ce déterminant rien qu'en s'intéressant au polynôme annulateur.
Kaiser
Si le polynome est scindé on peut en déduire que u est trigonalisable.
Comme le polynome annulateur est scindé, Det(u)= produit des racines, non?
pas tout à fait. On sait que le déterminant est le produit des valeurs propres de u mais les racines du polynôme annulateur ne sont pas toutes forcément des valeurs propres de u.
Kaiser
Tu as dû voir en cours que si A est une matrice carrée et P un polynôme annulateur de A alors toute valeur propre de A est une racine de P. En d'autres termes, les valeurs propres de A sont appartiennent à l'ensemble
Kaiser
Tu sais que les valeurs propres sont racines du polynôme caractéristique, qui est annulateur d'après Cayley-Hamilton.
Mais ici rien ne te dit que X^3-X est LE polynôme caractéristique. Comme c'est un polynôme annulateur quelconque tu ne peux pas dire que les valeurs propres sont les racines de ce polynôme.
Par exemple je pourrais très bien rajouter un facteur : Q(X)=(X-2)(X^3-X), et Q serait toujours annulateur alors que 2 n'est pas valeur propre (admettons).
Ok ?
Kaiser > Pour le déterminant on pourrait peut-être simplement distinguer le cas det(A) = 0. et passer au déterminant dans la relation A^3 = A² => deg(A)^3 = deg(A)² => deg(A)=1.
Donc deux valeurs possibles pour le déterminant.
non, du tout.
Si une matrice est celle d'une isométrie, alors le déterminant vaut 1 mais on n'a pas forcément le contraire.
Kaiser
Tout à l'heure, tu as dit que A était inversible. En te servant de cette information et de l'égalité vérifiée par A, montrer que A=I.
Kaiser
Moi j'aurais justifié comme ça : Kaiser a dit "En fait, on sait ce que vaut A dans ce cas.", donc d'après lui une seule matrice A vérifie dans ce cas A^3 = A², A vérifie l'égalité et comme Kaiser a raison, il n'y a que A qui convient 
Donc si j'ai bien compris, il suffit de dire que A^3=A² implique det(A)^3=det(A)² implique det(A)=1 donc A inversible. Ensuite il existe un polynome annulateur scindé sur R, P(X)=X²(X-1) ... A=l'identité. Donc les matrices A appartenant à Mn(R) telles que A^3=A² sont les matrices identité?
P(X)=X²(X-1) ... A=l'identité.
c'est justement ce passage que je voulais. En fait, l'argument est très simple : étant donné que A vérifie
OK ?
Kaiser
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